From 275a7b4d1d766b849a8e93b357c8398924cffb0a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Peter Norvig Date: Tue, 12 May 2020 17:37:50 -0700 Subject: [PATCH] Add files via upload --- ipynb/TwelveBalls.ipynb | 1216 ++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 634 insertions(+), 582 deletions(-) diff --git a/ipynb/TwelveBalls.ipynb b/ipynb/TwelveBalls.ipynb index ff58531..b95d717 100644 --- a/ipynb/TwelveBalls.ipynb +++ b/ipynb/TwelveBalls.ipynb @@ -10,32 +10,34 @@ "\n", "> *You are given twelve identical-looking balls and a two-sided scale. One of the balls is of a different weight, although you don't know whether it is lighter or heavier. How can you use just three weighings of the scale to determine not only what the different ball is, but also whether it is lighter or heavier?*\n", "\n", - "This is [a classic](https://en.wikipedia.org/wiki/Balance_puzzle) brain-teaser puzzle (first appearing in 1945), meant to be solved with paper and pencil. But I want to solve not just this specific puzzle, but related puzzles where you can vary (a) the number of balls, (b) the number of weighings allowed, and (c) whether the different ball might be heavier, lighter, or either, or neither. So I'll be better served by a computer program, not a pencil. \n", + "This is [a classic](https://en.wikipedia.org/wiki/Balance_puzzle) brain-teaser puzzle (first appearing in 1945), meant to be solved with paper and pencil. \n", "\n", - "(I originally wrote this program in Lisp around 1980, ported it to Python in 2012, and am republishing it here in revised form because the puzzle was mentioned in the [538 Riddler](https://fivethirtyeight.com/features/which-billiard-ball-is-rigged/) for 16 August 2019. It also appeared in a [Numberplay](https://wordplay.blogs.nytimes.com/2014/07/21/12coin/) column in 2014 (with coins instead of balls), in the Museum of Math's [Mindbenders](https://momath.org/civicrm/?page=CiviCRM&q=civicrm/event/info&reset=1&id=1620) series during shelter-in-place 2020, and in many other venues.)\n", + "However I want to solve not just this specific puzzle, but related puzzles where you can vary (a) the number of balls, (b) the number of weighings allowed, and (c) whether the different ball might be heavier, lighter, or either, or neither. So I'll be better served by a computer program, not a pencil. \n", + "\n", + "I originally wrote this program in Lisp around 1980, ported it to Python in 2012, and am republishing it here in revised form after I saw the puzzle was mentioned in the [538 Riddler](https://fivethirtyeight.com/features/which-billiard-ball-is-rigged/) for 16 August 2019. It also appeared in a [Numberplay](https://wordplay.blogs.nytimes.com/2014/07/21/12coin/) column in 2014 (with coins instead of balls), in the Museum of Math's [Mind-Benders for the Quarantined!](https://momath.org/civicrm/?page=CiviCRM&q=civicrm/event/info&reset=1&id=1620) series in 2020, and in many other venues.\n", "\n", "\n", "# Defining the Vocabulary\n", " \n", "Here are the concepts I'm dealing with:\n", "\n", - "- **balls**: In the general case we have `N` balls. I'll represent them with a list like `[1, 2, 3]` for `N = 3`.\n", - "- **oddball**: One of the balls is different in weight; I'll use the term **oddball** to indicate which ball is different, and how. I'll use `+N` to mean that ball `N` is heavier, and `-N` to mean ball `N` is lighter. (Note that `0` cannot be a ball.)\n", - "- **possible oddballs**: I'll keep track of the set of possible oddballs for a puzzle, and the remaining possibilities after each weighing. With `N = 3`, the set of all possible oddballs is `{+1, -1, +2, -2, +3, -3}`. \n", - "- **puzzle**: I'll express the puzzle stated above with `Puzzle(N=12, weighings=3)`. A puzzle is defined by the balls involved, the number of weighings allowed, and the possible oddballs. (I'll add a few complications later.)\n", + "- **ball**: A ball is represented by a positive integer. A list of balls by a list, e.g. `[1, 2, 3]`.\n", + "- **oddball**: One of the balls is different in weight; I'll use the term **oddball** to indicate which ball is different, and how. I'll use `+N` to mean that ball `N` is heavier, `-N` to mean ball `N` is lighter, and `0` to mean that all the balls are the same. (So `0` cannot be a ball number.) \n", + "- **puzzle**: I'll express the puzzle stated above with `Puzzle(N=12, weighings=3)`. A puzzle is defined by the number of balls, the number of weighings allowed, and the possible oddballs (I'll say how to describe them later).\n", "- **weighing**: I can weigh a collection of balls on the left versus a collection on the right, and the result will be that the left side is greater than, equal to, or less than the right in weight. I'll denote that with the call `weigh(L, R, oddball)`, which returns a string, `'gt'`, `'eq'`, or `'lt'`.\n", "- **weight**: I'll arbitrarily say that a normal ball weighs 100, a lighter ball 99, and a heavier ball 101.\n", - "- **solution**: Given a puzzle, a solution is a **strategy tree** that can correctly discover the oddball, whatever it is, in the allowable number of weighings. Since a tree with W weighings has 3W possible outcomes (leaf nodes), we can deduce that it is impossible to find a solution in W weighings if there are more than 3W possible oddballs.\n", - "- **strategy tree**: A tree whose leaf nodes are all oddballs (ints), and whose interior nodes have 5 components: `Node(L, R, gt, eq, lt)` is a node where `L` and `R` are the collections of balls to be weighed, and `gt`, `eq`, and `lt` are branches for subtrees corresponding to the three possible results of the weighing. (I'll also use `None` to mean \"could not find a valid tree.\")\n", - "- **following a path in a tree**: I'll use `follow(tree, oddball)` to say *follow the path through the tree, doing each weighing under the assumption of the given oddball, and return the leaf node reached by the path—the oddball that the tree predicts.* Note that the function `follow` gets to see what the oddball is, but the `tree` never gets direct access to that; the tree has to figure it out by doing weighings.\n", - "- **valid solution**: A tree is a valid solution to a puzzle if no branch uses more than the allowable number of weighings, and if, for every possible oddball in the puzzle, following the path through the tree correctly returns that oddball as the answer. I'll use `valid(tree, puzzle)` for this.\n", - "\n", - "Note: In the definition of the `Puzzle` class, by default the possible oddballs are all the \"lighter\" and \"heavier\" versions of the puzzle's balls. But if you want a different kind of puzzle, the `Puzzle` class gives you two ways to say that: \n", - "- You can specify the keyword argument `odd`, whose value can be any subset of `{-1, 0, +1}`, where `-1` means \"any one ball might be lighter,\" `+1` means \"any one ball might be heavier,\" and `0` means \"it might be that no ball is odd; they might all weigh the same.\"\n", - "- You can specify the keyword argument `oddballs` and give an explicit set of oddballs; any set of positive, negative, or zero integers.\n", + "- **solution**: Given a puzzle, a solution is a **strategy tree** that can correctly discover the oddball, whatever it is, in the allowable number of weighings. `valid(tree, puzzle)` is true when the tree is a valid solution for the puzzle. `None` indicates the failure to find a solution.\n", + "- **strategy tree**: A tree whose leaf nodes are oddballs and whose interior nodes have 5 components: `Node(L, R, gt, eq, lt)` is a node where `L` and `R` are the lists of balls to be weighed, and `gt`, `eq`, and `lt` are branches for subtrees corresponding to the three possible weighing results. \n", + "- **following a path**: I'll use `follow(tree, oddball)` to say *follow the path through the tree, doing each weighing under the assumption of the given oddball, and return the leaf node reached by the path—the oddball that the tree predicts.* Note that the function `follow` gets to see what the oddball is, but the `tree` does not; the tree has to figure it out by doing weighings.\n", "\n", "\n", - "# Implementation of Data Types\n" + "\n", + "# Implementation of Data Types\n", + "\n", + "Most of the types are straightforward. In a call to `Puzzle(...)` class, you can specify the allowable oddballs in two ways:\n", + "- Use `oddballs={...}` to specify an explicit set of oddballs: any set of positive, negative, or zero integers.\n", + "- Use `odd={...}`, specifying a subset of `{-1, 0, +1}`, where `-1` means \"any one ball might be lighter,\" `+1` means \"any one ball might be heavier,\" and `0` means \"it might be that no ball is odd; they might all weigh the same.\" The default is `odd={-1, +1}`, meaning that the oddball can be any ball, and can be lighter or heavier.\n", + "\n" ] }, { @@ -47,11 +49,10 @@ "from collections import namedtuple\n", "import random\n", "\n", - "Ball = Oddball = Leaf = int\n", - "\n", - "Node = namedtuple('Node', 'L, R, gt, eq, lt')\n", - "\n", - "Tree = (Node, Leaf) # A tree can be an interior node or a leaf\n", + "Ball = int # Balls are positive integers\n", + "Leaf = Oddball = int # Oddballs are positive, negative, or zero integers\n", + "Node = namedtuple('Node', 'L, R, gt, eq, lt') # A Node is a tuple of 5 components\n", + "Tree = (Node, Leaf) # A tree can be an interior node or a leaf\n", "\n", "class Puzzle:\n", " \"Represent a specific ball-weighing puzzle.\"\n", @@ -67,7 +68,7 @@ "source": [ "# Implementation of Basic Functions\n", "\n", - "Here are all the straightforward utility functions; everything except the main function `find_tree`, that actually solves a puzzle." + "Here are all the straightforward utility functions; everything except the main function `find_tree` that actually solves a puzzle." ] }, { @@ -78,10 +79,8 @@ "source": [ "def weigh(L, R, oddball) -> str:\n", " \"Weigh balls L against balls R, given the oddball; return 'gt', 'eq', or 'lt'.\"\n", - " diff = sum(weight(b, oddball) for b in L) - sum(weight(b, oddball) for b in R)\n", - " return ('gt' if diff > 0 else\n", - " 'lt' if diff < 0 else\n", - " 'eq')\n", + " Δ = sum(weight(b, oddball) for b in L) - sum(weight(b, oddball) for b in R)\n", + " return 'gt' if Δ > 0 else 'lt' if Δ < 0 else 'eq'\n", "\n", "def weight(ball, oddball) -> int: \n", " \"How heavy is this ball (given that we know what the oddball is)?\"\n", @@ -203,7 +202,7 @@ } ], "source": [ - "# If we weigh balls 1, 2 against 3, 4, and 4 is lighter, the result should be 'gt'\n", + "# If we weigh balls [1, 2] against [3, 4] and 4 is lighter, the result should be 'gt'\n", "weigh([1, 2], [3, 4], -4)" ] }, @@ -251,7 +250,7 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "# Finding a Valid Tree\n", + "# Finding a Valid Solution Tree\n", "\n", "Now we've got all the pieces we need to find a valid tree to solve a puzzle. The key concept is that a **weighing** gives us information by making a **partition** of the possible **oddballs** into branches for each of the three possible weighing results: `gt`, `eq`, or `lt`. If each of the partitions is small enough, subsequent weighings can handle each of them. Here's what I mean by a partition:" ] @@ -263,7 +262,7 @@ "outputs": [], "source": [ "def partition(L, R, oddballs) -> dict:\n", - " \"Build a dict that partitions the possible outcomes (oddballs) resulting from weighing L versus R.\"\n", + " \"A dict that partitions the possible outcomes from weighing L versus R.\"\n", " part = dict(gt=set(), eq=set(), lt=set())\n", " for odd in oddballs:\n", " part[weigh(L, R, odd)].add(odd)\n", @@ -274,7 +273,7 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "For example, with 12 balls, if we weigh balls {1, 2, 3} on the left versus {10, 11, 12} on the right, then there are 6 ways the left side can be greater than the right: either 10, 11 or 12 is lighter or 1, 2, or 3 is heavier. Similarly there are 6 ways of getting a `lt` weighing result. The remaining 12 possibilities—balls 4 through 9 being either heavier or lighter—show up in the `eq` branch of the partition:" + "For example, with 12 balls, if we weigh balls [1, 2, 3] on the left versus [10, 11, 12] on the right, then there are 6 ways the left side can be greater than the right: either 10, 11 or 12 is lighter or 1, 2, or 3 is heavier. Similarly there are 6 ways of getting a `lt` weighing result. The remaining 12 possibilities—balls 4 through 9 being either heavier or lighter—show up in the `eq` branch of the partition:" ] }, { @@ -305,15 +304,34 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "If this was the first weighing in our strategy tree, could we go on to solve the puzzle in 3 weighings? **No!** With two remaining weighings we can handle at most 3 × 3 = 9 possibilities; here we have 12 possibilities in the `eq` branch, which is too many. We call this a **bad partition**.\n", + "If this was the first weighing in our strategy tree, could we go on to solve the puzzle in 3 weighings? \n", "\n", - "The following is a **good partition** because each of the branches has 8 possibilities, and 8 is less than 9. " + "**No!** The key insight is that a tree with w weighings can distinguish at most 3w oddballs, because each weighing has three possible results. After using one weighing we can only solve the puzzle if every branch of the partition has no more than 32 = 9 oddballs, but here we have 12 oddballs in the `eq` branch. We call this a **bad partition**. A good partition is one where no branch has more than 3w oddballs. Being a good partition does not guarantee that the puzzle is solvable from there; but being a bad partition guarantees that it is not solvable.\n", + " " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 11, "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "def good_partition(part, w) -> bool:\n", + " \"Is this a partition which might lead to a solution in w more weighings?\"\n", + " return all(len(oddballs) <= 3 ** w for oddballs in part.values())" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "The following is a good partition because each of the branches has 8 possibilities, and 8 is less than 32:" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 12, + "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { @@ -323,20 +341,34 @@ " 'lt': {-4, -3, -2, -1, 9, 10, 11, 12}}" ] }, - "execution_count": 11, + "execution_count": 12, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ - "partition([1, 2, 3, 4], [9, 10, 11, 12], p12.oddballs)" + "p = partition([1, 2, 3, 4], [9, 10, 11, 12], p12.oddballs)\n", + "p" ] }, { - "cell_type": "markdown", + "cell_type": "code", + "execution_count": 13, "metadata": {}, + "outputs": [ + { + "data": { + "text/plain": [ + "True" + ] + }, + "execution_count": 13, + "metadata": {}, + "output_type": "execute_result" + } + ], "source": [ - "(Note: being a good partition does not guarantee that the puzzle is solvable from there; but being a bad partition guarantees that it is not solvable. Also note that this is a good partition with 2 remaining weighings, but would be a bad partition with only one remaining weighing.)" + "good_partition(p, 2)" ] }, { @@ -345,31 +377,31 @@ "source": [ "So now we have a viable approach to implementing `find_tree`:\n", "\n", - " - We call `find_tree(puzzle, oddballs, weighings)`. At the top level, the oddballs and number of weighings come from the puzzle. At recursive levels, we will reduce the number of oddball possibilities according to the partition, and the number of remaining weighings by 1 each time.\n", + " - We call `find_tree(puzzle, oddballs, weighings)`. At the top level, the oddballs and number of weighings come from the puzzle. At recursive levels, we use the oddballs from the partition, and reduce the number of remaining weighings by 1.\n", " - We handle trivial cases when there are zero or one oddballs remaining, or no weighings remaining.\n", - " - Otherwise, we generate random partitions of the balls, and examine the good ones.\n", - " - Given a good partition, all we have to do is find good trees (i.e. not `None`) for each of the three branches. If we can find that, return the tree as a solution.\n", + " - Otherwise, we ask `good_partitions` to generate random partitions and yield the good ones.\n", + " - Given a good partition, try to find valid trees for each of the three branches. If we can find that, return the tree as a solution.\n", " - If we can't find good trees for any partition, return `None` to indicate failure.\n", " \n", "The rest of the work is done by `good_partitions`:\n", "\n", - " - We select two lists of balls to be weighed, `L` and `R`, both of length `B`.\n", - " - We systematically consider all reasonable values of `B`. (All values from 1 up to 1/3 the number of balls, rounded up.)\n", - " - We then see what partition `L` and `R` gives us.\n", - " - If it is good, the function yields the `(L, R, partition)` tuple.\n", - " - In any case, we shuffle the balls and repeat, trying to generate more good partitions. I chose to repeat 100 times, to have a very good chance of randomly selecting a good partition for solvable puzzles, and of terminating in just a few seconds for unsolvable puzzles. \n", - " - However, I note that on the first weighing, there's no sense making multiple tries with randomly shuffled balls—the only choice that matters is how many balls, `B`, to put on each side, because the balls are undifferentiated at this point. So I only repeat for one try in that case.\n", - " - If I wanted to solve puzzles with hundreds or thousands of balls, not just dozens, I would come back and improve `good_partitions`." + " - Select two lists of balls to be weighed, `L` and `R`, both of length `B`.\n", + " - See what partition `L` and `R` gives us.\n", + " - If it is good, yield the `(L, R, partition)` tuple.\n", + " - Repeat for all possible values of `B`.\n", + " - Randomly shuffle the balls and repeat the whole process, trying to generate more good partitions. I chose to repeat 100 times, to have a good chance of finding a solution for solvable puzzles, and of terminating in just a few seconds for unsolvable puzzles. \n", + " - However, I note that on the first weighing, there's no sense making multiple tries with randomly shuffled balls—the only choice that matters is how many balls, `B`, to put on each side, because the balls are undifferentiated at this point. So I try each value of `B` only once on the first weighing.\n", + " - If I wanted to solve puzzles with thousands of balls, not just dozens, I would come back and improve `good_partitions`, passing information from the first weighing in to subsequent weighings." ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 12, + "execution_count": 14, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def find_tree(puzzle, oddballs, weighings) -> Tree or None:\n", - " \"Find a strategy tree that covers all the oddballs in the given number of weighings.\"\n", + " \"Find a tree that covers all the oddballs in the given number of weighings.\"\n", " if len(oddballs) == 1:\n", " return first(oddballs) # One possibility left; we're done; leaf node\n", " elif len(oddballs) == 0:\n", @@ -383,14 +415,14 @@ " return Node(L, R, **subtrees)\n", " \n", "def good_partitions(puzzle, oddballs, weighings, tries=100):\n", - " \"Yield random (L, R, partition) tuples with no partition branch longer than 3**weighings.\"\n", + " \"Yield random (L, R, partition) tuples of good partitions.\"\n", " balls = sorted(puzzle.balls)\n", - " for repeat in range(1 if oddballs == puzzle.oddballs else tries): \n", - " for B in range(1, (len(balls) + 2) // 3 + 1):\n", + " if weighings == puzzle.weighings: tries = 1 # First weighing\n", + " for _ in range(tries): \n", + " for B in range(1, 1 + len(balls) // 2):\n", " L, R = balls[:B], balls[-B:]\n", " part = partition(L, R, oddballs)\n", - " longest_part = max(part.values(), key=len)\n", - " if len(longest_part) <= 3 ** weighings:\n", + " if good_partition(part, weighings):\n", " yield L, R, part\n", " random.shuffle(balls)" ] @@ -404,7 +436,7 @@ }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 13, + "execution_count": 15, "metadata": {}, "outputs": [ { @@ -417,7 +449,7 @@ " 'lt': {-4, -3, -2, -1, 9, 10, 11, 12}})" ] }, - "execution_count": 13, + "execution_count": 15, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } @@ -432,21 +464,21 @@ "source": [ "# Solving Some Puzzles\n", "\n", - "Now we're ready to solve puzzles!" + "Now we're ready to solve puzzles! We'll start with the original 12-ball puzzle, `p12`:" ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 14, + "execution_count": 16, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ - "Node(L=[1, 2, 3, 4], R=[9, 10, 11, 12], gt=Node(L=[3, 12, 7], R=[9, 2, 10], gt=Node(L=[4, 10, 3], R=[8, 1, 2], gt=3, eq=-9, lt=-10), eq=Node(L=[5, 12, 6, 9], R=[4, 7, 11, 3], gt=-11, eq=1, lt=4), lt=Node(L=[1], R=[12], gt=-12, eq=2, lt=0)), eq=Node(L=[7, 4, 11, 6], R=[1, 10, 9, 8], gt=Node(L=[7, 12], R=[6, 1], gt=7, eq=-8, lt=6), eq=Node(L=[12], R=[5], gt=-5, eq=0, lt=5), lt=Node(L=[4, 5], R=[8, 7], gt=-7, eq=-6, lt=8)), lt=Node(L=[7, 6, 9, 3], R=[10, 2, 4, 5], gt=Node(L=[12, 10], R=[2, 9], gt=-2, eq=-4, lt=9), eq=Node(L=[11, 6, 8, 1], R=[9, 4, 7, 5], gt=11, eq=12, lt=-1), lt=Node(L=[1, 10], R=[2, 11], gt=10, eq=-3, lt=0)))" + "Node(L=[1, 2, 3, 4], R=[9, 10, 11, 12], gt=Node(L=[11, 3, 10, 2], R=[6, 12, 8, 5], gt=Node(L=[9, 4, 10, 8], R=[12, 5, 6, 3], gt=-12, eq=2, lt=3), eq=Node(L=[8, 6], R=[1, 9], gt=-9, eq=4, lt=1), lt=Node(L=[1, 2], R=[11, 12], gt=-11, eq=-10, lt=0)), eq=Node(L=[12, 1, 10, 9, 4], R=[5, 11, 6, 8, 2], gt=Node(L=[1, 2, 3, 4, 5], R=[8, 9, 10, 11, 12], gt=-8, eq=-6, lt=-5), eq=Node(L=[1, 2, 3, 4, 5, 6], R=[7, 8, 9, 10, 11, 12], gt=-7, eq=0, lt=7), lt=Node(L=[1, 2, 3, 4, 5], R=[8, 9, 10, 11, 12], gt=5, eq=6, lt=8)), lt=Node(L=[11, 2, 7, 8], R=[1, 6, 3, 10], gt=Node(L=[10, 6], R=[1, 11], gt=-1, eq=-3, lt=11), eq=Node(L=[6, 7, 12, 4], R=[3, 5, 8, 10], gt=12, eq=9, lt=-4), lt=Node(L=[1, 2], R=[11, 12], gt=0, eq=10, lt=-2)))" ] }, - "execution_count": 14, + "execution_count": 16, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } @@ -459,27 +491,27 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "OK, that's hard to read—my bad. Let's look at a much easier puzzle: 3 balls, 1 weighing allowed, and the oddball can only be lighter:" + "OK, that's hard to read—my bad. Let's look at a much easier puzzle: 3 balls, 1 weighing allowed, and the oddball can only be heavier:" ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 15, + "execution_count": 17, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ - "Node(L=[1], R=[3], gt=-3, eq=-2, lt=-1)" + "Node(L=[1], R=[3], gt=1, eq=2, lt=3)" ] }, - "execution_count": 15, + "execution_count": 17, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ - "tree = solve(Puzzle(3, 1, odd={-1}))\n", + "tree = solve(Puzzle(3, 1, odd={+1}))\n", "tree" ] }, @@ -487,7 +519,7 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "This tree says you weigh the first ball against the third (leaving the second unweighed), and the three possible weighing results tell you which of the three balls is lighter. " + "This trivial tree says you weigh the first ball against the third (leaving the second unweighed), and the three possible weighing results tell you which of the three balls is heavier. " ] }, { @@ -496,12 +528,12 @@ "source": [ "# Prettier Output\n", "\n", - "Let's make the output easier to read. I'll use `[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔` to mean \"*Weigh balls 1,2,3,4 versus 9,10,11,12 to get a result...*\". I'll indent each interior node in the tree, and I'll use `>:` to mean *the result when the left hand side is greater than the right in weight is...* " + "Let's make the output easier to read. I'll use `[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12]` to represent a weighing and I'll use `>:` to represent a branch. " ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 16, + "execution_count": 18, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ @@ -520,51 +552,12 @@ " subtrees = (indented(tree.gt, i+1, '>:'), \n", " indented(tree.eq, i+1, '=:'), \n", " indented(tree.lt, i+1, '<:'))\n", - " indent = ('' if i == 0 else ('\\n' + ' ' * 5 * i))\n", - " return f'{indent}{prefix}{side(tree.L)}⚖{side(tree.R)} ➔ {\" \".join(subtrees)})'\n", + " indent = ('' if i == 0 else ('\\n' + ' ' * 3 * i))\n", + " return f'{indent}{prefix}{side(tree.L)}⚖{side(tree.R)} ➔ {\" \".join(subtrees)}'\n", " \n", "def side(balls) -> str: return str(sorted(balls)).replace(', ', '·')" ] }, - { - "cell_type": "code", - "execution_count": 17, - "metadata": {}, - "outputs": [ - { - "name": "stdout", - "output_type": "stream", - "text": [ - "[1]⚖[3] ➔ >:-3 =:-2 <:-1)\n" - ] - } - ], - "source": [ - "# 3 balls, 1 weighing, only lighter balls possible\n", - "do(Puzzle(3, 1, {-1}))" - ] - }, - { - "cell_type": "code", - "execution_count": 18, - "metadata": {}, - "outputs": [ - { - "name": "stdout", - "output_type": "stream", - "text": [ - "[1]⚖[3] ➔ \n", - " >:[2]⚖[3] ➔ >:-3 =:+1 <:0) \n", - " =:[2]⚖[1] ➔ >:+2 =:0 <:-2) \n", - " <:[1]⚖[2] ➔ >:0 =:+3 <:-1))\n" - ] - } - ], - "source": [ - "# 3 balls, 2 weighings, lighter or heavier balls possible\n", - "do(Puzzle(3, 2))" - ] - }, { "cell_type": "code", "execution_count": 19, @@ -574,25 +567,13 @@ "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ - "[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔ \n", - " >:[1·3·10·12]⚖[4·6·7·9] ➔ \n", - " >:[1·9]⚖[10·11] ➔ >:+1 =:+3 <:-9) \n", - " =:[2·9]⚖[10·12] ➔ >:+2 =:-11 <:0) \n", - " <:[4·8·12]⚖[1·2·6] ➔ >:+4 =:-10 <:-12)) \n", - " =:[3·6·8]⚖[1·4·7] ➔ \n", - " >:[5·6]⚖[8·9] ➔ >:+6 =:-7 <:+8) \n", - " =:[1·2·11]⚖[5·8·10] ➔ >:-5 =:0 <:+5) \n", - " <:[6·7·9]⚖[2·5·12] ➔ >:+7 =:-8 <:-6)) \n", - " <:[1·3·9·11]⚖[2·7·8·12] ➔ \n", - " >:[5·12]⚖[2·11] ➔ >:-2 =:+9 <:+11) \n", - " =:[1·2·3]⚖[10·11·12] ➔ >:0 =:-4 <:+10) \n", - " <:[1·2·7]⚖[3·8·9] ➔ >:-3 =:+12 <:-1)))\n" + "[1]⚖[3] ➔ >:+1 =:+2 <:+3\n" ] } ], "source": [ - "# The original puzzle with 12 balls, 3 weighings\n", - "do(p12)" + "# 3 balls, 1 weighing, only heavier balls possible\n", + "do(Puzzle(3, 1, {+1}))" ] }, { @@ -604,66 +585,135 @@ "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ - "[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔ \n", - " >:[3·4·6·12]⚖[2·5·8·9] ➔ \n", - " >:[1·8]⚖[3·9] ➔ >:-9 =:+4 <:+3) \n", - " =:[2·10]⚖[7·11] ➔ >:-11 =:+1 <:-10) \n", - " <:[1]⚖[12] ➔ >:-12 =:+2 <:0)) \n", - " =:[2·5·6]⚖[3·8·11] ➔ \n", - " >:[4·5·7·8]⚖[1·2·3·10] ➔ >:+5 =:+6 <:-8) \n", - " =:[1·5·8·12]⚖[3·4·7·11] ➔ >:-7 =:0 <:+7) \n", - " <:[3·7·11]⚖[5·8·10] ➔ >:-5 =:-6 <:+8)) \n", - " <:[3·4·5·11]⚖[1·2·7·10] ➔ \n", - " >:[5·7·8]⚖[2·6·11] ➔ >:-2 =:-1 <:+11) \n", - " =:[1]⚖[12] ➔ >:0 =:+9 <:+12) \n", - " <:[3·5·11·12]⚖[4·6·7·9] ➔ >:-4 =:+10 <:-3)))\n" + "[1]⚖[3] ➔ \n", + " >:[1]⚖[2] ➔ >:+1 =:-3 <:0 \n", + " =:[3]⚖[2] ➔ >:-2 =:0 <:+2 \n", + " <:[3]⚖[2] ➔ >:+3 =:-1 <:0\n" ] } ], "source": [ - "# A different solution to the same puzzle\n", - "do(p12)" - ] - }, - { - "cell_type": "markdown", - "metadata": {}, - "source": [ - "I note that the traditional answer to the puzzle weighs 4 balls on each side of the first weighing, three balls on the second weighing, and 2 balls on the third weighing. But my program is not so orderly. It always weighs 4 balls on the first weighing, but from there it can vary; it has no inclination to minimize the number of balls on each side of the scale, or to make one branch of the tree be similar to another branch.\n", - "\n", - "# Other Puzzles: 3 Weighings\n", - "\n" - ] - }, - { - "cell_type": "markdown", - "metadata": {}, - "source": [ - "We can do **12 balls in 3 weighings** even when we add in the possibility that all the balls weigh the same (we use `0` to denote this situation):" + "# 3 balls, 2 weighings, lighter or heavier balls possible\n", + "do(Puzzle(3, 2))" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 21, "metadata": {}, + "outputs": [ + { + "name": "stdout", + "output_type": "stream", + "text": [ + "[3]⚖[2] ➔ >:-2 =:+1 <:-3\n" + ] + } + ], + "source": [ + "# 3 balls, 1 weighings, either ball 1 is heavy or 2 or 3 is light\n", + "do(Puzzle(3, 1, oddballs={+1, -2, -3}))" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 22, + "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔ \n", - " >:[3·4·10]⚖[1·6·12] ➔ \n", - " >:[3·8]⚖[4·5] ➔ >:+3 =:-12 <:+4) \n", - " =:[3·4·5]⚖[2·9·10] ➔ >:-9 =:-11 <:+2) \n", - " <:[1]⚖[12] ➔ >:+1 =:-10 <:0)) \n", - " =:[5·7]⚖[8·11] ➔ \n", - " >:[3·6·7·8]⚖[1·10·11·12] ➔ >:+7 =:+5 <:-8) \n", - " =:[6·8·10]⚖[1·9·11] ➔ >:+6 =:0 <:-6) \n", - " <:[1·6·12]⚖[5·8·11] ➔ >:-5 =:-7 <:+8)) \n", - " <:[4·5·9·12]⚖[7·8·10·11] ➔ \n", - " >:[1]⚖[12] ➔ >:0 =:+9 <:+12) \n", - " =:[3]⚖[1] ➔ >:-1 =:-2 <:-3) \n", - " <:[1·2·5·12]⚖[3·4·6·11] ➔ >:-4 =:+10 <:+11)))\n" + " >:[2·4·10]⚖[1·5·12] ➔ \n", + " >:[1·2·5·8·11]⚖[3·4·6·7·9] ➔ >:+2 =:-12 <:+4 \n", + " =:[1·4·7·11·12]⚖[2·5·6·9·10] ➔ >:-9 =:+3 <:-11 \n", + " <:[1]⚖[12] ➔ >:+1 =:-10 <:0 \n", + " =:[2·3·6·10]⚖[5·8·11·12] ➔ \n", + " >:[1·2·3·4·5]⚖[8·9·10·11·12] ➔ >:-8 =:+6 <:-5 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6]⚖[7·8·9·10·11·12] ➔ >:-7 =:0 <:+7 \n", + " <:[1·2·3·4·5]⚖[8·9·10·11·12] ➔ >:+5 =:-6 <:+8 \n", + " <:[3·4·7·11]⚖[2·6·8·10] ➔ \n", + " >:[8·12]⚖[2·9] ➔ >:-2 =:+11 <:0 \n", + " =:[3·4·6·9·11]⚖[2·5·7·10·12] ➔ >:+9 =:-1 <:+12 \n", + " <:[4·5·6·12]⚖[1·3·8·9] ➔ >:-3 =:+10 <:-4\n" + ] + } + ], + "source": [ + "# The original puzzle with 12 balls and 3 weighings\n", + "do(p12)" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 23, + "metadata": {}, + "outputs": [ + { + "name": "stdout", + "output_type": "stream", + "text": [ + "[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔ \n", + " >:[2·11·12]⚖[1·8·9] ➔ \n", + " >:[1·2]⚖[11·12] ➔ >:+2 =:-9 <:0 \n", + " =:[6·7]⚖[3·10] ➔ >:-10 =:+4 <:+3 \n", + " <:[1·3·8·10·11]⚖[2·4·5·7·9] ➔ >:+1 =:-12 <:-11 \n", + " =:[5·9·10·11·12]⚖[1·3·4·6·7] ➔ \n", + " >:[1·3·4·9·12]⚖[5·7·8·10·11] ➔ >:-7 =:-6 <:+5 \n", + " =:[1·2·3·4·5]⚖[8·9·10·11·12] ➔ >:-8 =:0 <:+8 \n", + " <:[3·4·7]⚖[6·9·11] ➔ >:+7 =:-5 <:+6 \n", + " <:[3·6·9·10]⚖[2·5·8·12] ➔ \n", + " >:[2·5·8·9]⚖[1·4·6·11] ➔ >:+9 =:+10 <:-2 \n", + " =:[3·6·7·12]⚖[2·4·10·11] ➔ >:-4 =:-1 <:+11 \n", + " <:[1]⚖[12] ➔ >:0 =:-3 <:+12\n" + ] + } + ], + "source": [ + "# A different random solution to the same puzzle\n", + "do(p12)" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "I note that the traditional answer to the puzzle weighs 4 balls on each side of the first weighing, three balls on the second weighing, and 2 balls on the third weighing. But my program is not so orderly. It always weighs 4 balls on the first weighing (because that is the only good partition), but from there it can vary; it need not minimize the number of balls on each side of the scale, nor make one branch of the tree be symmetric with another branch.\n", + "\n", + "# Other Puzzles: 3 Weighings\n", + "\n" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "We can do **12 balls in 3 weighings** even when we add in the possibility that all the balls weigh the same:" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 24, + "metadata": {}, + "outputs": [ + { + "name": "stdout", + "output_type": "stream", + "text": [ + "[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔ \n", + " >:[4·7·11·12]⚖[1·5·6·9] ➔ \n", + " >:[6·9]⚖[7·8] ➔ >:0 =:+4 <:-9 \n", + " =:[2·6·9·11]⚖[1·3·4·7] ➔ >:+2 =:-10 <:+3 \n", + " <:[1·4·12]⚖[6·7·10] ➔ >:+1 =:-11 <:-12 \n", + " =:[1·4·9]⚖[5·7·8] ➔ \n", + " >:[1·2·3·4·5]⚖[8·9·10·11·12] ➔ >:-8 =:-7 <:-5 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6]⚖[7·8·9·10·11·12] ➔ >:+6 =:0 <:-6 \n", + " <:[1·2·3·4·5]⚖[8·9·10·11·12] ➔ >:+5 =:+7 <:+8 \n", + " <:[1·4·12]⚖[2·7·10] ➔ \n", + " >:[1]⚖[12] ➔ >:0 =:-2 <:+12 \n", + " =:[2·6·10·11·12]⚖[1·5·7·8·9] ➔ >:+11 =:-3 <:+9 \n", + " <:[7·8·11]⚖[4·5·10] ➔ >:-4 =:-1 <:+10\n" ] } ], @@ -680,7 +730,7 @@ }, { "cell_type": "code", - 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"Here's a puzzle with **25 balls** with an unusual set of possibilities: either one of the odd-numbered balls is heavier, or one of the even-numbered balls is lighter, or no ball is odd." + "Here's a puzzle with **26 balls** where either one of the odd-numbered balls is heavier, or one of the even-numbered balls is lighter, or no ball is odd." ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 27, + "execution_count": 30, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ - "{0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, -24, -22, -20, -18, -16, -14, -12, -10, -8, -6, -4, -2}\n" + "{0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, -26, -24, -22, -20, -18, -16, -14, -12, -10, -8, -6, -4, -2}\n" ] } ], "source": [ - "N = 25\n", - "p = Puzzle(N, 3, oddballs={(+b if b % 2 else -b) for b in range(N + 1)})\n", - "print(p.oddballs)" + "N = 26\n", + "p26 = Puzzle(N, 3, oddballs={(+b if b % 2 else -b) for b in range(N + 1)})\n", + "print(p26.oddballs)" ] }, { "cell_type": "code", - 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It might, however be the heavier ball, and you still need to report it as such if it is. We describe this situation by defining a puzzle with 26 (weighable) balls, but with the oddballs covering `{+1, +2, ..., +27}`. Note that when all three weighings are equal, the strategy tree reports `=:+27`." + "Another variation: **27 balls, 3 weighings**, the oddball can only be heavier, but one ball (number 27) is poisonous and can't be touched or placed on the balance scale. It might, however be the heavier ball, and you still need to report it as such if it is. \n", + "\n", + "We describe this situation by defining a puzzle with 26 (weighable) balls, but with the oddballs covering `{+1, +2, ..., +27}`. 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We always end up with at least one branch with 28 possibilities, but we need 27 or less:" + "Unfortunately, **no**, we can't find a good partition, which would leave no more than 27 oddballs in each branch. I'll introduce the function `partition_sizes` so you don't have to count:" ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 31, + "execution_count": 34, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def partition_sizes(puzzle, B):\n", " \"How big is each branch of a partition with B balls on both sides?\"\n", " part = partition(puzzle.balls[:B], puzzle.balls[-B:], puzzle.oddballs)\n", - " return [len(part[branch]) for branch in part]" + " return [len(oddballs) for oddballs in part.values()]" ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 32, + "execution_count": 35, "metadata": {}, "outputs": [ { @@ -967,7 +1020,7 @@ "[26, 28, 26]" ] }, - "execution_count": 32, + "execution_count": 35, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } @@ -978,7 +1031,7 @@ }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 33, + "execution_count": 36, "metadata": {}, "outputs": [ { @@ -987,7 +1040,7 @@ "[28, 24, 28]" ] }, - "execution_count": 33, + "execution_count": 36, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } @@ -1000,12 +1053,12 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "How about **39 balls**, with the possibility that no ball is odd. That's 39 × 2 + 1 = 79 possibilities, and it turns out we can find a good partition, and a solution:" + "How about **39 balls, 4 weighings**, heavier or lighter, with the possibility that no ball is odd. That's 39 × 2 + 1 = 79 possibilities, which is less than 81." ] }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 34, + "execution_count": 37, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ @@ -1014,7 +1067,7 @@ }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 35, + "execution_count": 38, "metadata": {}, "outputs": [ { @@ -1023,7 +1076,7 @@ "[26, 27, 26]" ] }, - "execution_count": 35, + "execution_count": 38, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } @@ -1034,7 +1087,7 @@ }, { "cell_type": "code", - "execution_count": 36, + "execution_count": 39, "metadata": {}, "outputs": [ { @@ -1042,45 +1095,45 @@ "output_type": "stream", "text": [ "[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13]⚖[27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39] ➔ \n", - " >:[3·9·10·14·15·21·24·26·28·30·31·36·38]⚖[2·6·8·11·16·17·20·27·29·32·34·37·39] ➔ \n", - " >:[4·6·13·18·21·23·24·25·27·28·30·36]⚖[1·2·3·10·11·15·19·26·29·32·35·39] ➔ \n", - " >:[7·11·20·22·32·35·37]⚖[4·6·19·21·31·33·39] ➔ >:-39 =:-29 <:-32) \n", - " 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<:[1·2·4·7·19·22·24·29·34·37·39·41·44·48·52·53·54·56·63·69·78·79·90·93·94·96·98·110·111·112·115·116·118·119]⚖[3·5·6·10·11·21·25·26·30·36·38·45·49·58·60·62·64·66·70·75·77·80·83·84·86·87·92·100·101·103·107·109·114·117] ➔ >:-92 =:-120 <:+25)) \n", - " <:[12·16·22·23·24·27·30·32·35·39·42·43·46·48·49·57·58·59·64·65·71·74·78·79·82·89·101·103·105·112·115·116]⚖[7·10·20·21·36·37·38·40·45·50·51·52·56·63·68·73·80·81·85·88·91·92·96·97·102·106·108·109·111·113·114·118] ➔ \n", - " >:[1·4·5·6·7·10·14·20·23·24·25·28·37·39·46·53·56·60·62·63·66·73·74·76·80·81·82·83·91·94·97·98·100·102·104·110·120]⚖[16·19·21·29·30·33·35·36·38·43·48·49·50·51·52·54·55·57·58·75·77·78·79·85·87·88·93·99·103·105·107·108·114·115·116·118·119] ➔ >:+39 =:-96 <:-97) \n", - " =:[8·31·46·67·76·88·99]⚖[13·18·35·77·80·93·101] ➔ >:+8 =:+34 <:-99) \n", - " <:[40·54·83·89]⚖[4·18·35·61] ➔ >:+40 =:-101 <:-89)))) \n", - " =:[3·6·11·12·20·28·32·33·39·40·41·44·46·48·49·51·54·61·66·69·70·72·78·83·86·88·94·96·100·102·103·104·105·106·113·114·117]⚖[9·10·14·16·17·19·26·27·29·30·31·36·38·43·52·55·56·57·58·59·60·62·63·64·74·75·76·81·87·90·93·95·108·112·116·118·120] ➔ \n", - " >:[1·4·7·10·11·12·13·15·16·21·25·33·37·38·44·46·48·50·52·53·59·64·67·68·71·76·77·82·84·89·92·93·99·104·105·111·120]⚖[3·8·18·26·27·30·31·35·42·43·45·47·49·54·57·58·60·61·63·66·69·73·75·79·81·86·97·98·100·101·103·110·113·114·115·116·119] ➔ \n", - " >:[5·6·8·19·21·29·33·35·38·43·44·45·48·53·57·60·79·85·87·88·90·94·96·98·102·103]⚖[7·9·12·15·25·26·30·32·36·39·42·50·54·62·63·66·70·71·78·83·86·91·105·109·110·114] ➔ \n", - " >:[1·3·5·7·8·9·13·14·19·21·22·31·33·34·35·36·37·38·42·48·50·55·59·60·63·64·65·67·73·74·75·77·82·90·96·97·101·110·114·117]⚖[2·4·11·16·17·20·23·24·25·27·29·30·39·41·45·46·47·49·51·57·58·62·68·69·76·84·85·88·89·92·94·95·98·100·104·105·109·111·113·116] ➔ >:+48 =:+44 <:-63) \n", - " =:[5·8·9·36·50·63·75·84·85·86·95·97·100·102·110·111·115·116]⚖[2·6·10·12·30·41·48·58·60·67·71·77·78·82·90·101·103·118] ➔ >:-58 =:+46 <:-75) \n", - " <:[6·8·41·43·44·87·90·92·95·117]⚖[17·18·24·52·60·66·71·73·115·118] ➔ >:-60 =:-57 <:-43)) \n", - " =:[1·3·4·6·17·24·33·37·48·52·53·56·57·58·59·69·70·72·77·82·85·90·95·98·102·109·110·115·118]⚖[2·12·15·19·21·22·26·29·34·36·39·41·43·45·46·49·51·54·62·65·76·81·96·99·101·107·113·116·120] ➔ \n", - " >:[15·33·44·65·66·75·93·95·101·111·114·117]⚖[6·13·29·38·60·62·72·81·82·98·103·120] ➔ >:-62 =:+70 <:+72) \n", - " =:[7·13·25·27·33·37·42·43·47·56·58·59·65·71·74·77·78·79·85·90·98·101·105·108·116]⚖[1·11·16·17·18·19·22·23·45·49·53·57·60·61·64·68·70·81·86·92·96·100·109·117·118] ➔ >:+78 =:-55 <:-74) \n", - " <:[1·9·10·11·16·21·22·31·33·35·38·43·44·45·46·47·49·50·61·67·69·74·75·77·79·84·89·91·93·95·97·100·104·105·108·116·117]⚖[4·6·12·14·18·20·23·25·26·28·37·40·41·53·55·56·60·63·65·68·70·71·72·76·78·82·88·94·99·101·103·106·110·111·115·118·119] ➔ >:-56 =:+51 <:+41)) \n", - " <:[6·11·13·14·18·21·35·36·45·46·48·52·66·74·82·84·89·95·97·101·102·105·107·109·115·116]⚖[2·4·8·9·10·23·25·27·28·29·37·44·49·57·59·60·61·64·77·79·90·92·98·108·110·112] ➔ \n", - " >:[12·14·19·28·39·44·46·48·62·64·65·66·67·71·73·80·86·89·95·96·100·111·118·119]⚖[5·13·15·20·21·25·27·32·42·45·50·57·60·68·70·75·84·85·87·91·98·104·107·114] ➔ >:+66 =:-59 <:-64) \n", - " =:[1·5·6·9·12·14·25·27·30·36·46·59·61·80·82·88·93·105·106·108·110·111]⚖[4·8·15·20·22·40·47·62·63·69·71·75·76·77·79·86·90·96·102·104·114·118] ➔ >:-76 =:+54 <:+69) \n", - " <:[5·12·13·25·37·39·41·44·46·63·69·70·75·86·88·92·95·111]⚖[4·7·8·15·18·29·49·51·52·67·68·72·91·93·102·113·115·117] ➔ >:-52 =:+61 <:+49))) \n", - " =:[4·5·13·16·22·24·25·26·34·38·39·42·44·45·48·49·51·53·57·58·60·71·74·82·88·89·91·93·94·95·101·103·105·112·113·115·120]⚖[1·6·7·8·9·12·17·18·19·21·23·27·31·33·35·50·54·55·59·63·67·68·69·72·75·77·78·80·81·85·86·90·92·97·104·107·114] ➔ \n", - " >:[7·11·14·24·30·33·37·47·51·53·55·60·66·72·77·78·80·90·91·92·101·110·113·115·117]⚖[1·9·10·19·20·21·39·42·44·50·54·67·69·75·79·86·89·93·100·102·104·105·108·109·116] ➔ \n", - " >:[4·12·14·15·18·24·25·27·28·29·32·39·42·44·47·48·51·54·55·56·64·68·69·82·92·100·101·106·107·108·109·116·120]⚖[2·3·7·9·10·16·19·20·26·33·34·46·50·52·53·58·61·63·65·66·73·74·76·89·95·97·102·104·111·112·114·117·118] ➔ >:-50 =:-67 <:+53) \n", - " =:[8·10·22·23·29·31·35·42·43·45·51·61·65·73·77·79·82·84·97·105]⚖[13·17·18·20·25·32·34·39·50·67·71·72·74·85·89·94·98·103·112·114] ➔ >:+45 =:-68 <:+71) \n", - " <:[5·18·20·27·33·38·42·45·49·51·64·65·73·80·84·85·94·106]⚖[17·21·28·29·31·39·50·53·55·57·61·63·68·86·90·98·99·114] ➔ >:+42 =:-77 <:-80)) \n", - " =:[18·23·30·36·43·44·61·67·72·75·79·97·101·103·109·111]⚖[2·5·28·31·34·35·45·54·62·64·65·73·78·85·90·118] ➔ \n", - " >:[12·13·18·22·25·27·36·48·51·68·73·79·80·86·87·92·93·94·102·112]⚖[4·16·24·32·34·43·44·49·56·60·69·70·74·77·83·88·95·105·107·116] ➔ >:+79 =:-65 <:-73) \n", - " =:[4·6·7·8·12·13·25·41·43·45·48·51·53·59·60·63·64·68·73·74·76·77·80·82·86·91·92·94·95·106·107·109·112·114·115·116·117]⚖[1·2·10·11·15·16·19·23·24·26·27·29·30·31·34·35·38·40·44·47·49·54·61·62·65·67·70·72·83·84·93·97·103·113·118·119·120] ➔ >:-47 =:0 <:+47) \n", - " <:[1·4·6·7·9·13·14·21·22·33·38·39·41·45·50·51·55·57·59·68·72·73·77·79·84·86·88·99·105·109·111·120]⚖[8·11·19·20·26·28·30·40·42·46·47·60·61·62·63·64·69·74·75·76·82·89·96·100·101·102·104·106·110·112·115·118] ➔ >:+73 =:+65 <:-79)) \n", - " <:[3·4·6·16·21·23·28·29·36·41·42·43·45·54·57·61·63·65·74·75·76·77·80·83·89·90·91·92·95·104·113·115]⚖[5·8·9·11·19·22·24·26·39·44·47·48·49·50·51·52·53·58·62·69·70·73·78·81·87·98·100·101·106·111·114·116] ➔ \n", - " >:[1·7·39·43·44·51·60·61·74·77·79·81·88·89·91·113·115·116]⚖[4·6·10·12·13·20·26·31·35·57·69·73·80·97·103·104·106·118] ➔ >:+77 =:-53 <:+80) \n", - " =:[8·12·14·16·30·31·35·42·44·48·51·52·60·66·69·73·80·100·103·109·115]⚖[2·7·10·18·36·39·40·54·57·58·59·68·71·74·77·83·91·97·101·102·107] ➔ >:-71 =:+67 <:+68) \n", - " <:[10·20·24·25·30·39·45·47·49·50·51·55·56·58·59·60·64·65·82·84·87·89·96·99·105·106·108·111·113]⚖[2·3·5·8·12·16·17·31·35·37·46·48·52·53·54·66·70·73·74·78·83·86·88·94·97·100·101·104·114] ➔ >:+50 =:-42 <:-45))) \n", - " <:[2·6·10·11·15·25·26·27·31·41·44·45·49·51·53·57·61·62·63·65·69·71·76·79·83·85·96·99·101·102·103·106·110·113·115·120]⚖[3·4·7·9·13·16·18·19·20·22·29·30·36·37·40·42·46·48·55·60·64·66·70·72·77·87·88·89·91·93·97·105·108·109·111·114] ➔ \n", - " >:[4·5·6·8·12·13·15·17·18·20·25·26·28·31·33·40·50·51·52·55·62·64·67·68·69·70·80·86·99·101·102·105·106·109·112·113·116]⚖[1·7·9·11·19·21·22·27·29·35·38·39·46·47·48·53·54·56·57·58·60·74·76·81·82·83·87·92·94·96·104·110·114·115·117·118·120] ➔ \n", - " >:[17·29·35·40·43·44·45·46·49·50·53·56·57·60·65·67·73·75·77·78·88·90·93·94·101·106·108·110·111·114·116·117·119]⚖[4·6·8·9·12·13·16·18·23·24·25·27·31·32·37·41·42·48·52·55·58·61·63·64·69·70·76·85·100·103·104·113·118] ➔ >:-48 =:+62 <:-46) \n", - " =:[1·6·17·26·35·42·49·58·61·62·64·80·93·98·107·109·115·117·118]⚖[19·23·29·32·34·38·39·48·63·70·72·73·87·88·96·102·103·106·120] ➔ >:-72 =:-66 <:+63) \n", - " <:[7·9·11·21·23·24·25·26·31·32·35·41·44·46·47·50·52·54·72·73·77·80·81·84·86·87·88·89·91·97·98·101·103·105·106·108·109·116·120]⚖[2·3·4·10·13·16·18·19·20·22·28·29·33·36·38·40·42·45·48·51·55·56·57·58·62·65·70·71·75·79·90·95·99·107·110·112·113·117·118] ➔ >:-70 =:+76 <:+57)) \n", - " =:[3·4·6·9·14·16·18·19·20·36·43·53·54·55·58·72·75·76·80·87·88·89·94·97·101·105·110·118]⚖[1·8·15·23·34·38·41·47·50·52·59·60·61·62·64·66·70·71·73·79·90·92·96·98·111·112·113·119] ➔ \n", - " >:[1·3·4·9·11·14·25·29·33·46·48·52·56·58·60·63·68·69·70·72·76·82·83·92·94·96·99·106·107]⚖[5·6·13·15·16·17·18·19·22·27·32·43·44·50·51·74·78·84·86·87·91·98·100·112·113·114·116·119·120] ➔ >:+58 =:+75 <:+43) \n", - " =:[2·6·11·13·17·25·28·31·41·96·108·112·115·117]⚖[24·30·38·48·56·58·63·64·75·78·79·84·91·113] ➔ >:-78 =:+74 <:+56) \n", - " <:[1·2·4·11·14·17·20·22·27·29·34·35·52·62·64·66·69·70·71·72·74·76·80·84·86·90·99·101·103·110]⚖[3·5·12·30·32·37·39·40·43·45·46·53·59·60·63·65·67·68·81·85·87·92·93·95·96·105·112·116·118·120] ➔ >:+52 =:-54 <:+59)) \n", - " <:[3·20·21·23·24·26·40·42·43·45·46·50·60·61·68·69·84·88·89·91·92·93·96·101·103·107·110·118·120]⚖[7·9·11·14·15·25·27·28·34·35·39·44·49·52·54·57·63·64·67·70·77·80·90·94·97·108·112·113·116] ➔ \n", - " >:[2·6·10·13·14·18·19·21·22·24·27·32·35·42·43·44·46·55·57·60·61·72·75·78·80·81·84·91·93·99·101·102·103·104·111·116·117]⚖[3·5·7·8·11·15·16·26·28·29·30·31·34·37·38·39·40·53·54·58·64·66·67·70·79·83·88·89·92·94·95·98·108·112·114·115·120] ➔ >:+60 =:-49 <:-44) \n", - " =:[12·13·16·21·33·35·36·37·43·47·48·50·51·57·64·70·73·79·85·89·92·94·120]⚖[1·2·5·7·19·28·32·40·41·44·56·72·76·78·81·83·88·90·93·101·107·117·118] ➔ >:-41 =:+55 <:-51) \n", - " <:[3·7·12·16·24·33·38·46·47·61·62·64·71·72·83·101·102·113]⚖[21·23·25·27·32·36·40·41·52·53·54·73·81·92·100·103·105·108] ➔ >:+64 =:-69 <:-61)))) \n", - " <:[1·2·4·5·7·9·13·14·16·17·25·26·28·29·44·46·61·62·63·66·67·70·71·72·74·80·81·84·86·87·92·93·98·103·104·105·109·117·119]⚖[3·8·10·12·18·19·23·24·27·31·35·39·40·43·45·47·51·52·53·54·57·58·59·75·76·77·83·88·91·96·99·100·102·107·111·112·114·115·118] ➔ \n", - " >:[4·8·9·11·13·15·16·18·19·23·25·27·29·30·36·39·48·51·53·61·62·64·67·70·71·73·84·87·89·93·95·98·100·114·115·116]⚖[5·10·12·14·21·24·31·40·41·42·43·47·50·52·56·58·63·65·68·69·72·76·77·78·80·81·83·94·99·101·102·108·109·112·117·118] ➔ \n", - " >:[1·4·5·8·11·12·14·16·28·36·39·40·45·47·52·59·67·72·75·85·86·92·98·103·104·110·114]⚖[10·24·32·34·58·61·63·69·71·73·80·83·84·88·91·94·95·96·99·100·101·102·108·111·115·118·119] ➔ \n", - " >:[8·9·11·12·13·16·17·19·24·25·28·29·33·37·41·43·53·56·58·66·68·69·71·74·76·79·80·89·96·97·98·101·103·105·106·110·111·115·118]⚖[2·4·5·14·18·26·27·31·40·44·46·47·48·49·55·57·60·64·65·67·72·75·77·82·84·85·86·90·93·94·99·100·108·109·113·114·116·119·120] ➔ >:+98 =:-10 <:-24) \n", - " =:[9·14·18·44·64·68·71·74·88·97·102·104·113·117·119]⚖[25·31·45·49·52·54·55·56·78·92·93·95·100·103·116] ➔ >:-31 =:+87 <:+93) \n", - " <:[4·7·22·27·38·39·52·58·78·82·107·114·116]⚖[3·10·16·24·40·49·53·71·77·83·84·95·102] ➔ >:-40 =:-12 <:+84)) \n", - " =:[1·6·7·9·11·25·31·36·38·42·53·54·57·58·61·63·67·68·70·71·83·90·91·98·100·101·104·107·108·110·115·118]⚖[3·10·13·15·26·29·40·41·44·48·50·51·52·59·60·65·72·75·76·78·80·84·85·88·92·93·97·99·102·105·117·119] ➔ \n", - " >:[1·2·3]⚖[118·119·120] ➔ >:0 =:+104 <:-3) \n", - " =:[3·4·5·8·13·14·23·27·34·38·43·46·52·53·54·57·59·60·61·63·65·66·67·68·69·71·72·79·81·83·92·96·97·109·110·119]⚖[2·9·12·15·16·18·22·25·26·31·33·35·37·41·42·44·49·56·64·73·75·84·85·86·87·90·91·95·98·104·108·111·112·115·116·120] ➔ >:-35 =:+103 <:+86) \n", - " <:[3·5·8·11·14·15·16·21·23·25·27·40·47·51·56·59·70·71·78·80·84·85·90·93·99·105·108·112·116]⚖[2·10·18·19·22·24·30·36·43·52·53·54·57·61·62·73·74·89·95·97·100·102·103·109·111·113·115·117·119] ➔ >:+105 =:+92 <:+119)) \n", - " <:[5·6·9·12·18·20·22·23·25·32·37·47·49·50·68·71·72·76·80·81·88·95·104·107·112·119·120]⚖[10·11·14·15·19·27·30·31·40·43·52·53·56·60·61·66·67·78·85·86·92·98·109·110·113·115·116] ➔ \n", - " >:[6·13·15·16·17·23·25·29·33·37·40·46·47·48·59·83·84·88·94·95·97·101·111·119·120]⚖[7·8·11·12·18·19·21·26·30·32·39·42·43·57·67·70·72·77·81·89·90·100·105·108·118] ➔ >:-19 =:-27 <:+81) \n", - " =:[1·9·14·27·33·41·42·43·44·49·54·55·56·66·67·74·78·83·84·85·89·93·99·101·103·104·106·107·111·115]⚖[8·16·17·19·21·23·24·25·29·31·32·40·46·52·57·65·68·72·75·76·77·81·86·88·90·92·109·110·116·117] ➔ >:-8 =:-39 <:+117) \n", - " <:[3·10·17·18·20·26·42·54·60·66·70·71·77·84·94·98·99·101·104·105·106·108·110·111·113·114·116·117·118]⚖[1·11·12·15·23·25·27·30·31·35·39·43·45·46·50·53·55·58·69·73·76·81·83·87·88·92·95·107·112] ➔ >:-23 =:+109 <:-18))) \n", - " =:[9·12·16·17·20·21·28·29·34·38·41·43·47·49·50·56·61·65·71·73·75·79·80·85·88·90·93·99·101·102·103·111·112·114·117·118·120]⚖[1·2·14·15·18·19·22·25·26·27·32·33·36·39·45·48·54·58·59·60·63·66·70·72·81·84·89·91·94·95·96·97·98·100·109·116·119] ➔ \n", - " >:[1·12·15·17·21·23·29·30·36·42·51·54·55·57·59·61·63·66·76·77·78·80·87·89·93·96·98·99·101·103·104·110·114·116]⚖[2·6·8·13·16·18·22·26·33·34·41·44·45·46·48·56·58·60·62·64·67·68·69·71·72·79·81·90·94·108·111·112·113·119] ➔ \n", - " >:[7·12·13·17·19·22·26·27·28·32·34·40·45·51·52·57·60·61·66·72·73·74·77·80·84·86·90·96·100·101·102·109·113·115·116·117]⚖[3·5·9·15·16·18·23·30·31·35·36·42·43·47·49·50·54·58·64·68·75·76·78·79·83·85·89·91·94·99·103·106·108·111·119·120] ➔ >:+101 =:-33 <:-22) \n", - " =:[6·7·10·20·21·22·27·29·32·33·42·52·54·55·59·67·70·75·76·77·82·83·86·99·103·104·108·111·114·116·117·120]⚖[2·3·12·16·25·30·35·36·39·44·46·47·48·49·50·51·53·60·66·71·73·78·79·80·87·89·90·91·95·97·100·106] ➔ >:+120 =:+85 <:-32) \n", - " <:[5·11·12·13·21·30·39·42·43·49·50·61·73·76·79·81·83·91·94·105]⚖[3·19·24·32·36·40·41·45·60·65·68·87·90·92·98·99·101·112·114·119] ➔ >:-36 =:-15 <:+90)) \n", - " =:[1·2·4·11·14·23·31·47·54·55·56·59·62·64·65·66·69·71·75·77·80·82·89·91·94·98·106]⚖[6·8·13·16·18·19·20·21·29·35·50·51·57·58·61·63·74·76·87·92·100·101·108·113·114·115·119] ➔ \n", - " >:[5·6·10·13·16·27·29·31·33·34·38·46·48·50·52·56·60·67·68·69·72·74·76·81·82·90·92·102·104·114·119]⚖[1·3·7·15·36·39·41·42·45·49·58·59·61·62·64·70·73·79·80·83·86·89·98·99·101·105·109·111·112·115·120] ➔ >:+82 =:+106 <:-6) \n", - " =:[1·7·15·17·21·24·30·32·43·44·53·55·78·79·80·84·88·118]⚖[2·9·16·26·33·35·37·52·61·62·66·75·76·87·92·105·108·119] ➔ >:-37 =:+110 <:-30) \n", - " <:[3·8·9·14·16·24·25·26·31·32·33·36·46·48·52·54·61·66·67·69·74·76·78·79·82·91·93·94·97·98·99·103·108·111·112·115·116·118·120]⚖[1·4·5·6·10·13·15·18·20·22·23·27·30·34·35·38·40·42·43·47·50·55·63·65·68·70·72·73·77·81·83·86·87·96·102·105·107·113·114] ➔ >:+108 =:-11 <:+113)) \n", - " <:[3·7·8·12·16·19·20·23·25·31·33·39·41·42·46·54·58·60·71·72·77·84·86·87·88·92·94·95·98·101·112·113·114·118·120]⚖[2·6·14·22·28·32·34·36·37·43·48·49·53·56·62·67·68·69·70·74·75·78·79·85·89·91·93·97·102·104·105·106·109·115·119] ➔ \n", - " >:[1·2·4·8·14·31·43·44·45·46·53·60·63·81·85·94·104·112·113·116]⚖[6·18·23·26·29·33·35·48·49·55·57·65·67·70·74·93·95·107·111·115] ➔ >:+94 =:-34 <:+95) \n", - " =:[4·5·6·7·9·13·20·23·27·28·30·34·36·40·41·42·45·51·55·61·64·70·71·75·76·78·79·80·87·88·92·93·98·99·105·106·115·117·118·119]⚖[1·2·3·8·11·14·16·17·29·35·38·39·49·50·53·54·58·65·72·73·81·82·83·85·86·89·90·91·94·95·96·102·107·109·110·111·112·113·116·120] ➔ >:-38 =:-21 <:+116) \n", - " <:[15·20·22·34·44·55·70·71·77·89·95·116]⚖[1·7·14·23·30·39·54·65·83·96·99·106] ➔ >:+89 =:+97 <:-20))) \n", - " <:[2·3·6·7·9·11·17·22·25·27·31·36·41·48·50·51·56·57·61·62·63·66·67·70·71·73·75·79·84·88·96·97·100·101·102·104·115·120]⚖[4·14·18·21·23·24·26·29·30·32·35·37·39·40·44·47·49·52·53·58·59·65·68·69·72·76·81·95·99·103·108·109·112·113·114·116·118·119] ➔ \n", - " >:[1·4·6·7·12·13·25·26·27·29·31·33·35·37·43·62·67·71·74·76·80·85·91·95·99·100·102·103·105·107·114·120]⚖[3·5·9·11·14·15·24·36·39·40·41·42·44·45·47·53·57·61·63·65·66·72·73·78·82·87·92·93·101·109·110·116] ➔ \n", - " >:[4·7·8·9·24·26·30·32·40·49·56·57·75·84·86·98·100·109·118]⚖[5·13·22·25·27·28·42·45·52·62·72·77·80·92·95·97·102·105·106] ➔ >:+100 =:-14 <:+102) \n", - " =:[6·15·30·60·70·88·97·101·104·120]⚖[13·17·27·47·58·82·92·96·105·108] ➔ >:+88 =:+115 <:+96) \n", - " <:[1·5·22·23·25·26·28·34·40·47·51·53·54·56·57·59·63·64·65·66·67·71·72·73·82·83·84·85·87·93·94·99·103·105·111·114·115·116]⚖[2·7·9·10·12·14·16·17·19·20·21·29·31·38·39·41·43·44·49·50·55·61·62·68·69·70·76·88·89·91·92·97·100·104·107·109·113·118] ➔ >:-29 =:-4 <:-26)) \n", - " =:[1·5·8·14·31·36·38·47·69·87·90·91·97·100·101·113·119·120]⚖[7·12·13·15·16·22·39·41·58·67·68·74·81·83·88·99·117·118] ➔ \n", - " >:[4·7·10·30·35·71·74·75·76·77·78·93·106·112]⚖[3·6·8·16·23·28·46·47·54·55·62·63·69·91] ➔ >:-16 =:-13 <:+91) \n", - " =:[1·3·6·12·14·24·50·53·57·58·62·72·78·79·89·90·101·104·107·117]⚖[5·8·17·23·32·40·41·51·56·63·66·75·80·82·85·98·110·111·112·113] ➔ >:+107 =:-28 <:+111) \n", - " <:[3·9·16·23·26·27·28·38·45·47·53·57·62·75·82·88·90·92·93·96·99·103·111·112·116·120]⚖[1·15·20·32·35·46·48·49·51·54·56·64·68·72·76·79·83·84·91·94·102·104·108·114·117·119] ➔ >:-1 =:-5 <:+83)) \n", - " <:[1·2·6·13·17·19·26·30·31·32·33·34·35·36·38·39·41·42·51·56·58·62·63·65·68·70·75·77·80·81·84·88·93·103·109·110·113·114·116·117]⚖[5·7·8·10·12·15·22·23·25·27·28·29·40·43·44·46·52·54·55·59·66·67·72·73·78·79·89·90·92·96·100·102·104·105·107·108·111·115·118·120] ➔ \n", - " >:[16·19·25·27·33·36·40·41·54·66·73·74·76·78·82·84·92·93·105·106·109·111·112·115·119]⚖[4·7·10·13·30·31·32·35·42·43·44·45·48·55·59·67·72·77·79·90·91·99·100·103·113] ➔ >:-7 =:+114 <:-25) \n", - " =:[1·4·6·8·10·13·18·21·23·29·32·34·47·48·54·59·67·71·83·85·87·92·102·105·107·108·109·110·112·117]⚖[3·11·15·20·22·24·25·27·28·35·36·40·42·46·52·55·58·65·66·70·73·78·84·89·94·98·99·101·114·118] ➔ >:+112 =:-9 <:+99) \n", - " <:[5·7·8·10·11·13·16·18·23·25·27·28·29·38·45·47·50·54·58·59·62·68·70·71·72·77·83·86·90·93·98·103·104·105·107·111·112·115·117·119]⚖[1·12·17·22·30·31·32·33·36·37·39·41·43·46·51·56·57·60·61·63·66·78·79·81·84·85·87·91·92·94·95·96·97·99·106·108·109·110·114·118] ➔ >:-17 =:-2 <:+118)))))\n" + " >:[2·3·5·8·10·18·21·26·34·35·36·37·47·51·52·53·59·62·66·69·72·74·76·77·82·85·92·99·102·106·107·110·112·113·115·116·117·119]⚖[6·7·11·15·17·20·23·25·27·29·31·39·40·42·49·50·54·57·60·64·70·79·80·84·86·88·89·90·91·93·96·97·98·100·104·105·109·114] ➔ \n", + " >:[5·11·17·18·21·22·26·27·28·29·30·33·37·39·41·43·44·47·48·51·54·57·58·64·69·71·74·75·76·84·88·89·91·94·100·106·108·109·118]⚖[1·2·6·8·9·12·14·15·16·20·25·31·32·34·42·45·46·50·53·56·62·63·72·77·78·80·81·82·83·87·90·93·95·96·97·99·101·107·116] ➔ \n", + " >:[2·5·6·8·13·16·17·19·20·28·29·33·34·35·38·40·41·43·44·45·47·53·54·55·56·63·64·67·68·76·82·83·86·91·94·96·97·98·100·102·103·104·107·109·110·113·115·119]⚖[3·4·7·10·14·18·23·27·31·32·39·46·49·50·57·58·59·60·61·62·65·69·71·72·73·74·75·78·79·80·81·84·85·88·89·90·92·93·95·99·101·105·106·108·111·112·116·120] ➔ \n", + " >:[3·12·30·41·63·65·66·83·90·91·97·118]⚖[33·37·56·60·64·69·93·101·102·112·115·120] ➔ >:-93 =:+5 <:-90 \n", + " =:[5·9·13·15·18·21·25·27·39·42·53·58·69·76·77·78·79·82·83·89·90·91·92·94·96·100·101·102·103·104·108·109·111·113·115·119]⚖[2·3·7·8·10·12·23·24·33·37·41·43·44·45·46·47·48·49·54·55·63·64·67·70·71·73·74·86·87·93·97·106·107·114·116·120] ➔ >:+21 =:+26 <:+37 \n", + " <:[2·4·23·26·37·40·42·43·45·46·49·50·52·53·54·65·66·67·78·84·87·91·96·100·102·103·107·115·118]⚖[5·6·9·12·13·14·17·24·30·32·33·36·41·47·69·71·76·86·89·92·94·97·101·109·110·111·112·113·114] ➔ >:-97 =:+18 <:-96 \n", + " =:[10·11·13·14·15·16·29·30·33·35·36·37·46·53·54·57·61·62·71·75·77·78·85·86·87·89·92·100·104·112·115·118·120]⚖[3·5·8·9·12·17·20·22·25·27·28·32·41·42·43·44·45·47·48·51·52·56·64·66·74·76·82·88·91·102·116·117·119] ➔ \n", + " >:[6·9·10·16·21·29·33·34·40·41·42·44·45·51·58·61·63·64·72·73·86·91·114]⚖[1·5·15·22·23·30·32·35·53·56·69·77·81·84·95·101·102·104·105·111·112·116·118] ➔ >:+10 =:+36 <:+35 \n", + " =:[4·8·13·14·15·18·29·32·36·37·44·53·57·66·70·71·72·74·82·83·84·87·88·89·92·98·100·101·108·110·111·113·117·118·120]⚖[1·3·6·7·11·16·19·22·25·26·34·38·40·42·43·48·58·60·61·67·68·73·76·78·91·93·96·99·104·106·107·112·114·115·116] ➔ >:-114 =:-105 <:-98 \n", + " <:[6·13·16·17·32·33·35·50·54·62·63·66·71·78·84·86·91·92·100·105·106·114·118]⚖[4·9·12·18·23·24·29·48·56·59·61·70·76·77·83·85·90·94·104·110·111·116·117] ➔ >:-104 =:+3 <:-86 \n", + " <:[1·4·9·14·15·19·21·24·26·31·36·49·51·52·55·57·58·59·62·64·65·74·75·76·78·81·83·92·93·94·96·97·99·100·101·102·103·104·105·109·111·112·115·117]⚖[2·3·5·7·10·11·12·16·23·29·30·32·35·39·40·41·42·43·44·45·46·48·56·60·66·68·71·72·77·79·80·82·84·85·87·88·89·90·95·106·110·113·116·119] ➔ \n", + " >:[5·20·75·78·82·84·97·99·100·114·116·120]⚖[2·34·44·46·50·57·59·63·73·77·89·110] ➔ >:-89 =:-88 <:-84 \n", + " =:[1·7·8·9·13·16·19·25·35·37·39·40·43·46·47·48·49·50·54·55·56·57·59·60·63·67·68·69·71·72·81·84·85·86·92·93·95·100·101·102·105·106·108·110·111·116·117·118]⚖[2·4·5·6·10·12·15·20·21·22·23·26·27·28·29·30·33·34·36·41·42·44·45·51·53·58·64·65·73·75·76·78·79·80·82·83·89·90·94·96·99·104·112·113·114·115·119·120] ➔ >:+8 =:-91 <:+34 \n", + " <:[2·3·13·15·16·27·28·37·50·52·62·69·70·89·90·94·99·101·103·106·109·111·114·116]⚖[5·6·17·18·21·24·33·40·47·51·57·58·60·65·73·77·80·82·97·104·105·107·110·119] ➔ >:+2 =:-100 <:-109 \n", + " =:[2·3·5·9·14·15·17·18·20·24·26·27·32·35·36·39·40·47·51·54·55·56·59·60·67·69·76·79·81·84·85·91·92·95·97·99·107·108·110·112·115·116·117·120]⚖[1·6·10·11·12·16·23·28·29·30·31·34·41·42·43·46·49·50·52·53·58·62·64·65·66·71·73·74·83·87·88·89·90·94·96·98·103·104·105·106·109·113·118·119] ➔ \n", + " >:[5·13·15·18·21·24·39·44·50·57·60·61·72·73·77·80·85·88·91·94·95·97·99·101·108·112·116·118]⚖[2·3·9·12·17·19·28·34·35·38·48·49·51·65·75·76·78·81·83·89·92·93·102·103·106·107·109·117] ➔ \n", + " >:[6·9·14·15·16·26·31·33·37·38·48·65·70·77·81·82·83·91·92·94·101·104·106·108·114·115·116·117·118·119]⚖[1·3·11·12·18·27·30·36·41·44·50·55·59·60·61·71·73·79·86·95·96·97·98·100·103·107·109·110·111·113] ➔ >:-103 =:+24 <:-83 \n", + " =:[1·2·4·11·12·13·21·22·23·25·28·30·37·43·44·46·47·48·51·54·55·59·66·71·72·74·80·86·89·90·91·92·93·96·100·102·106·115]⚖[5·6·8·9·17·20·24·26·29·31·32·33·38·39·50·57·58·63·65·68·69·76·77·81·82·84·85·87·95·97·98·104·105·108·110·113·114·120] ➔ >:-87 =:+14 <:+32 \n", + " <:[3·9·15·17·27·31·37·46·49·53·56·59·67·68·72·76·78·81·91·94·96·97·99·102·106·107·110·111·116·119]⚖[6·7·8·11·14·18·23·24·25·26·33·35·40·41·45·62·63·64·65·66·71·83·85·88·89·95·108·113·115·117] ➔ >:+9 =:-118 <:-94 \n", + " =:[2·20·22·38·39·40·52·56·63·67·69·80·83·84·90·101·102·105·106·107·111·118]⚖[1·5·11·12·14·24·26·33·34·35·43·44·45·49·51·65·68·74·79·91·110·113] ➔ \n", + " >:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22]⚖[99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:+22 =:+38 <:0 \n", + " =:[8·11·15·19·24·25·28·29·33·37·49·54·57·66·68·70·72·85·91·96·97·98·99·103·107·109·112·113·116]⚖[3·5·13·20·21·23·27·39·40·45·46·51·61·62·63·67·76·79·80·82·84·100·104·105·106·115·118·119·120] ➔ >:+19 =:+4 <:+13 \n", + " <:[1·2·6·7·9·10·11·16·19·23·25·28·32·38·50·53·54·58·61·63·64·65·67·69·72·73·74·76·77·80·81·86·90·94·95·96·97·98·99·100·103·105·106·107·116·118·120]⚖[3·4·5·8·12·14·15·17·18·20·21·26·27·29·30·31·33·35·36·41·43·46·48·49·51·52·56·60·62·70·71·78·84·87·88·89·91·92·93·102·108·109·111·114·115·117·119] ➔ >:-111 =:-101 <:+33 \n", + " <:[10·16·19·20·42·43·44·45·56·57·63·64·66·75·79·80·84·92·95·101·104·106·108·110·117]⚖[1·17·18·22·25·26·31·36·40·55·61·70·74·76·78·81·83·86·90·91·97·102·111·113·120] ➔ \n", + " >:[10·11·17·18·25·26·27·34·58·65·72·77·82·84·85·88·89·98·108·117·118]⚖[4·16·22·33·35·40·42·47·49·52·70·71·73·74·78·90·92·96·103·104·120] ➔ >:-120 =:-81 <:+16 \n", + " =:[3·5·7·8·9·10·11·20·25·28·35·36·41·48·50·51·54·56·57·63·65·67·68·73·77·78·80·81·82·83·84·87·90·91·96·102·107·114·117]⚖[6·12·17·22·23·24·27·29·32·33·34·37·42·44·46·49·53·58·62·64·69·70·71·75·76·85·86·88·95·97·98·101·104·108·109·111·112·115·119] ➔ >:+28 =:+30 <:+12 \n", + " <:[1·2·5·7·8·9·10·12·15·22·23·25·28·30·33·39·47·61·67·73·74·75·78·82·84·89·102·108·110·114·117·118]⚖[4·6·11·18·20·24·27·29·38·41·42·43·44·46·49·52·62·66·70·81·83·85·86·91·92·93·101·104·107·112·113·116] ➔ >:+1 =:-95 <:-108 \n", + " <:[1·7·8·10·11·12·13·14·21·23·26·30·33·34·38·45·46·54·56·63·67·69·74·76·77·78·79·80·81·85·96·100·102·106·107·108·111·113·114·117·118]⚖[3·4·5·6·9·19·22·24·27·36·37·40·41·43·44·47·50·55·57·58·59·61·62·64·71·72·73·75·82·84·91·92·93·94·95·98·101·110·112·115·116] ➔ \n", + " >:[3·6·7·8·12·13·15·18·19·23·29·30·33·39·43·46·55·59·73·77·83·85·91·92·103·109·111·113·115]⚖[11·14·20·21·22·24·27·37·38·40·41·42·53·54·56·58·60·63·65·66·74·79·80·86·90·94·102·105·112] ➔ \n", + " >:[1·7·14·19·20·34·43·52·54·65·83·96·99·101·104·107·111·114]⚖[11·12·23·31·59·62·64·66·72·77·78·79·87·90·91·97·98·119] ➔ >:+7 =:-112 <:+23 \n", + " =:[5·7·11·13·27·40·62·69·70·82·105]⚖[32·41·53·54·59·94·96·100·104·108·110] ➔ >:-110 =:-116 <:-82 \n", + " <:[2·5·13·14·20·24·26·29·36·37·38·40·41·45·58·59·64·65·71·78·79·81·90·93·94·97·104·115·116]⚖[1·3·4·7·9·15·16·23·27·47·48·49·50·53·55·57·61·69·74·80·88·92·98·99·100·101·108·114·119] ➔ >:-92 =:+11 <:-115 \n", + " =:[4·9·10·14·16·22·23·26·31·32·35·40·42·45·47·56·57·62·63·66·67·74·78·82·85·87·90·95·97·107·109·112·114·116·117]⚖[3·6·11·21·25·27·29·30·33·34·38·39·41·46·51·53·61·64·65·72·76·77·79·86·89·91·92·93·99·100·101·105·108·110·119] ➔ \n", + " >:[2·10·12·15·16·22·26·29·31·32·36·38·45·48·53·59·64·65·66·68·69·72·87·89·90·93·94·98·99·106·108·109·110]⚖[1·3·5·7·8·13·18·20·21·23·34·35·47·49·51·56·58·63·67·70·74·78·82·86·97·100·102·104·111·114·115·117·118] ➔ >:+31 =:-119 <:-99 \n", + " =:[2·3·5·6·8·9·10·12·13·14·16·17·18·19·23·24·26·29·31·33·34·35·38·40·41·46·47·49·50·52·58·60·62·66·67·71·75·77·78·83·86·87·88·96·102·107·108·109·110·112·116·118·120]⚖[1·4·7·11·15·21·22·25·27·30·37·39·42·43·44·45·48·53·54·55·56·59·64·65·69·72·73·74·76·79·80·81·82·84·85·89·90·91·94·95·97·98·99·100·103·104·105·106·111·113·114·115·117] ➔ >:+17 =:+20 <:+15 \n", + " <:[3·6·11·13·19·24·26·39·41·43·45·47·51·53·56·78·83·93·94·101·103·109·114·120]⚖[2·4·5·7·18·25·32·33·42·49·50·52·61·62·76·82·97·100·102·108·111·112·115·116] ➔ >:+39 =:+29 <:+25 \n", + " <:[1·2·4·7·11·16·17·19·20·21·22·30·32·33·35·36·49·51·52·56·58·59·62·68·71·75·76·84·85·86·88·89·92·94·95·103·104·105·107·114]⚖[3·5·8·9·15·24·25·26·28·29·31·40·42·45·46·48·53·60·63·64·65·66·74·77·79·81·82·87·91·96·98·101·102·106·110·111·112·117·118·120] ➔ \n", + " >:[2·4·5·6·8·10·21·25·26·27·30·34·36·42·43·48·58·59·64·72·75·81·83·95·99·102·104·105·108·113·119]⚖[16·20·28·29·32·33·35·38·39·40·41·45·49·50·54·55·60·62·63·65·74·79·82·90·98·103·109·110·115·117·120] ➔ >:-117 =:-106 <:-102 \n", + " =:[1·3·5·9·11·12·14·15·18·20·22·23·30·31·32·33·35·38·39·41·44·46·49·50·53·54·59·61·63·64·65·75·76·79·80·81·87·89·90·91·92·94·95·99·101·102·103·104·105·111·116·118]⚖[2·4·8·13·17·19·21·24·25·26·27·28·29·34·37·40·42·45·47·48·51·52·55·56·57·67·68·70·71·72·73·74·77·82·83·84·85·86·88·93·96·98·106·107·108·109·110·112·113·114·119·120] ➔ >:-113 =:+6 <:+27 \n", + " <:[19·22·23·31·35·36·37·47·48·52·53·57·62·65·66·68·71·73·79·89·93·95·112·117·118]⚖[2·3·6·11·17·20·24·33·38·40·41·42·43·54·72·84·87·92·100·102·103·104·105·107·109] ➔ >:-107 =:-85 <:+40 \n", + " =:[5·9·10·11·13·16·23·34·35·36·37·39·45·50·52·54·57·59·60·62·63·67·71·78·79·87·92·95·98·101·105·106·109·110·114·115·117·118]⚖[2·7·8·12·15·18·19·22·25·28·33·41·42·43·44·47·51·55·56·64·70·72·73·75·77·84·88·91·96·99·102·103·107·108·111·112·119·120] ➔ \n", + " >:[1·5·6·7·11·36·39·40·44·47·49·61·62·63·64·66·69·76·77·78·83·87·89·91·92·93·95·96·99·100·110·111·119]⚖[4·10·16·19·22·26·30·34·37·41·42·45·46·51·52·53·56·67·71·73·75·79·88·94·98·102·104·107·108·109·113·114·117] ➔ \n", + " >:[8·11·14·16·19·20·34·35·36·37·40·43·45·46·48·51·52·55·56·59·65·67·69·76·84·91·93·94·96·97·102·103·106·113·117·118]⚖[1·2·3·4·9·22·23·33·38·39·41·42·47·50·53·58·66·71·73·74·78·80·81·86·87·95·101·104·105·109·111·112·114·116·119·120] ➔ \n", + " >:[14·18·23·26·30·32·33·42·44·46·48·49·58·59·68·74·83·87·91·92·93·97·99·101·102·111·119]⚖[3·6·8·10·15·16·19·25·31·37·39·41·51·52·55·60·64·71·82·86·88·89·94·98·103·109·116] ➔ >:-41 =:-73 <:-42 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53·54·55·56·57·58]⚖[63·64·65·66·67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:-75 =:+62 <:+63 \n", + " <:[6·8·10·32·36·41·44·47·51·58·60·61·62·65·66·74·77·87·90·95·106·109·119·120]⚖[4·5·13·15·18·19·26·46·53·56·57·70·72·73·84·86·89·91·94·98·103·112·114·117] ➔ >:-56 =:+78 <:-51 \n", + " =:[11·45·50·55·56·59·72·76·87·89·96·110·118]⚖[4·8·25·30·32·46·60·67·70·85·95·109·120] ➔ \n", + " >:[3·4·6·8·13·14·15·19·20·21·25·26·27·34·37·44·46·50·53·62·63·64·66·67·69·70·71·74·75·83·87·89·92·93·95·100·103·105·108·114·116·117·119]⚖[9·10·11·12·16·22·23·24·28·29·30·31·33·36·38·41·42·47·51·56·57·60·65·68·79·81·82·84·88·90·97·98·102·104·106·107·109·110·112·113·115·118·120] ➔ >:+50 =:+59 <:-70 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53·54]⚖[67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:+54 =:+57 <:-43 \n", + " <:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53·54·55]⚖[66·67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:-72 =:+60 <:-55 \n", + " <:[3·9·11·13·21·22·23·24·31·34·39·41·42·46·47·48·52·55·57·74·75·76·80·82·84·85·92·97·107·108·109·112]⚖[2·5·6·10·20·26·33·35·40·44·45·49·56·58·59·68·70·72·77·79·81·86·91·98·102·106·110·111·114·116·117·120] ➔ \n", + " >:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44]⚖[77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:-77 =:+52 <:-44 \n", + " =:[1·2·4·5·6·9·11·14·16·18·20·22·27·28·30·31·32·34·36·38·41·46·47·49·55·56·57·64·70·71·72·74·75·78·85·86·88·89·91·92·96·98·99·100·101·103·104·105·110·111·114·116·117·120]⚖[3·7·8·10·12·13·15·17·19·21·23·24·25·29·33·35·37·39·40·42·43·44·51·52·53·54·58·59·61·62·63·65·66·68·69·73·76·77·79·80·81·83·84·93·95·97·102·106·107·109·112·113·115·119] ➔ >:+71 =:+67 <:-64 \n", + " <:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45]⚖[76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:+45 =:-47 <:+79 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53]⚖[68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ \n", + " >:[1·5·9·11·12·20·21·22·25·27·28·29·31·32·37·38·39·42·44·48·52·56·57·62·63·66·68·73·85·86·88·92·94·98·100·101·108·111·115·116·117·119]⚖[2·3·4·6·8·10·14·16·19·23·24·30·34·36·43·45·49·51·53·54·59·61·69·70·72·74·77·82·83·84·89·91·95·96·97·99·103·106·109·110·112·120] ➔ \n", + " >:[3·8·15·17·18·19·24·26·28·29·30·34·35·39·43·45·46·47·49·51·53·54·57·59·63·65·69·70·72·73·75·76·77·80·81·82·86·87·88·89·92·95·101·103·109·117·119·120]⚖[1·4·5·6·7·9·10·11·12·14·16·20·32·33·36·37·38·40·41·44·50·55·56·58·60·62·66·67·71·74·78·83·84·85·90·91·94·96·97·98·99·102·106·110·112·114·115·118] ➔ >:-74 =:+48 <:-69 \n", + " =:[7·14·17·21·23·25·26·31·46·65·75·80·86·90·110·112·114]⚖[28·32·36·37·42·50·57·59·84·85·89·93·100·117·118·119·120] ➔ >:+46 =:-76 <:-80 \n", + " <:[18·22·29·35·38·43·44·47·49·51·55·69·73·74·85·92·94·95·103·108·109·112·113·117]⚖[2·4·14·16·20·24·26·27·28·30·33·41·53·57·61·63·72·78·80·83·87·99·101·120] ➔ >:+49 =:-68 <:+53 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53·54·55·56·57·58]⚖[63·64·65·66·67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ \n", + " >:[1·5·9·10·15·18·20·23·26·28·31·34·37·38·41·43·44·46·47·49·52·53·58·61·63·66·71·78·87·95·100·106·107·111·112·115]⚖[3·4·6·13·14·24·25·27·32·39·40·42·45·50·51·56·57·60·64·68·72·77·80·90·91·92·94·97·98·99·101·103·105·110·116·119] ➔ >:+58 =:-65 <:-66 \n", + " 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>:[2·7·8·9·10·14·16·17·18·19·22·23·31·40·41·46·51·53·58·68·72·74·75·88·89·93·97·103·106·107·111·117]⚖[6·15·20·26·29·33·35·36·37·42·43·55·65·66·70·73·76·77·85·86·87·90·91·92·96·98·102·109·110·113·116·118] ➔ >:+74 =:+69 <:+76 \n", + " =:[1·5·8·9·11·12·13·18·25·33·35·36·37·40·42·43·44·50·52·56·59·69·71·73·74·76·85·97·99·103·104·105·108·111·113·115]⚖[2·6·19·20·29·30·31·32·34·38·39·41·45·46·54·55·65·66·67·72·79·80·82·86·87·92·93·95·98·100·101·106·107·109·110·116] ➔ >:-46 =:-48 <:+80 \n", + " <:[2·3·5·6·7·12·20·25·31·34·35·52·53·55·60·62·65·69·71·72·74·82·85·86·98·102·104·109·115·117·120]⚖[1·4·13·17·18·21·23·29·40·41·43·46·47·48·49·54·59·63·67·76·78·90·91·92·93·97·105·107·110·111·119] ➔ >:-49 =:+68 <:-53 \n", + " <:[4·6·7·8·10·15·19·20·24·27·30·33·36·37·40·41·45·48·49·51·53·54·56·57·69·76·78·79·80·82·84·87·88·91·92·93·94·95·102·103·109·110·111·115·118·120]⚖[1·2·3·9·11·13·17·21·22·23·25·26·32·34·35·38·39·43·44·46·52·58·59·60·61·62·63·64·65·66·67·72·81·83·85·89·97·99·100·101·106·108·112·114·116·119] ➔ \n", + " >:[2·3·7·9·10·11·18·19·24·28·31·32·41·47·51·54·59·63·65·66·67·68·74·76·78·80·81·86·93·94·95·100·102·104·106·110·116·118]⚖[1·6·8·12·14·15·16·20·23·26·27·29·33·34·35·37·39·46·58·60·69·71·73·89·91·92·96·97·98·99·101·107·108·109·112·114·117·120] ➔ \n", + " >:[12·14·72·86·96]⚖[41·60·77·84·88] ➔ >:-60 =:+51 <:+41 \n", + " =:[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53·54·55·56]⚖[65·66·67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔ >:+56 =:-62 <:-52 \n", + " <:[3·6·15·19·20·22·23·25·26·28·32·35·36·40·44·45·54·55·56·62·63·64·68·71·73·74·77·80·82·83·87·92·98·102·103·112·115·117·118·119]⚖[1·5·11·12·16·17·21·24·33·34·38·41·43·46·47·50·51·52·53·57·59·60·61·66·69·76·78·79·81·84·88·91·100·105·106·108·109·113·114·120] ➔ >:-59 =:-67 <:-63 \n", + " =:[4·7·8·10·16·17·25·26·28·29·30·32·35·39·41·44·45·46·48·52·58·63·65·66·67·72·77·79·83·85·90·93·98·101·104·105·108·110·112·113·114·117·120]⚖[3·5·9·11·13·14·15·18·20·21·24·27·34·37·38·40·42·47·50·57·61·64·68·69·70·71·74·76·80·82·84·86·87·88·89·92·95·99·100·102·107·111·118] ➔ \n", + " >:[4·5·6·8·10·14·19·23·28·31·32·36·37·38·39·42·46·55·56·57·63·67·69·72·75·78·81·83·84·90·91·96·97·101·103·105·112·114·116·119]⚖[1·9·11·13·15·18·24·26·27·29·30·34·35·41·44·45·52·54·59·65·66·68·71·77·80·82·86·87·88·92·93·94·98·100·102·107·110·113·118·120] ➔ >:-71 =:-50 <:+77 \n", + " 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>:[1·2·3·4]⚖[117·118·119·120] ➔ >:0 =:-21 <:-4 \n", + " =:[2·6·7·8·11·12·14·17·19·21·26·28·31·32·33·36·38·40·42·43·47·49·53·54·55·64·65·67·69·71·73·75·79·80·83·85·87·90·92·95·97·98·102·104·108·116]⚖[1·3·4·5·9·10·18·22·23·25·30·34·35·37·39·41·45·50·60·61·68·74·76·77·81·82·84·86·88·89·91·94·96·99·100·101·105·107·109·111·112·113·114·115·117·118] ➔ >:+87 =:+120 <:+96 \n", + " <:[3·5·7·15·28·32·40·52·54·62·68·70·72·74·75·86·89·100·101·112·114·115·118·119]⚖[1·16·19·21·22·30·41·44·50·53·55·61·64·67·77·78·87·90·91·92·96·105·108·110] ➔ >:+86 =:+106 <:+105 \n", + " =:[2·3·5·14·15·23·27·29·33·37·39·49·51·55·57·58·62·66·69·70·74·78·81·84·86·98·105·117·118·119]⚖[4·7·9·10·11·22·28·35·36·40·45·46·47·54·56·59·60·64·68·71·80·82·91·92·93·95·103·108·115·116] ➔ \n", + " >:[2·8·16·20·22·27·28·30·36·58·66·80·81·88·94·96·120]⚖[1·3·4·10·12·13·39·42·43·45·48·52·71·78·93·104·106] ➔ >:+81 =:-7 <:-22 \n", + " 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>:[12·18·21·29·34·43·56·57·58·65·66·67·69·73·79·82·95·97·98·100·104·107·108·110·111·112·115·117·118]⚖[2·3·4·16·17·20·22·25·27·36·39·47·55·60·70·72·75·77·78·80·81·86·87·89·91·103·105·113·116] ➔ >:+97 =:-23 <:-12 \n", + " =:[1·2·10·11·14·17·21·22·31·38·40·42·46·47·50·62·63·64·65·68·70·71·74·75·81·82·85·86·87·89·94·97·98·99·100·101·105·107·109·110·113·118·119]⚖[4·6·7·8·12·23·24·28·29·33·35·37·39·41·43·48·52·55·56·57·59·61·66·67·69·72·76·78·79·84·90·92·93·96·103·104·106·108·111·112·114·115·120] ➔ >:-33 =:-3 <:-10 \n", + " <:[1·3·4·5·9·10·14·15·17·20·21·23·24·29·33·39·40·45·46·51·56·63·66·70·72·74·75·76·78·79·84·87·89·91·94·96·99·101·104·112·113·114·116·118]⚖[2·6·12·13·19·22·26·30·31·32·34·35·37·41·43·50·53·54·57·58·59·60·61·62·67·68·71·80·83·90·92·93·95·100·102·103·105·106·107·109·110·117·119·120] ➔ >:+113 =:+82 <:+102 \n", + " 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>:[4·5·7·11·13·15·18·26·30·32·33·34·35·36·37·39·42·43·44·45·46·51·53·56·57·59·60·61·62·66·70·71·72·76·77·78·81·83·84·87·89·90·91·92·95·96·101·102·104·108·109·110·112·116·117·120]⚖[1·2·6·8·9·10·12·14·16·17·21·22·27·28·29·31·38·40·41·47·48·49·50·54·55·58·63·64·67·68·69·73·74·75·79·80·82·85·86·88·93·94·97·98·99·100·103·105·106·107·111·113·114·115·118·119] ➔ >:+101 =:-19 <:-30 \n", + " =:[6·14·16·20·22·30·31·36·37·38·40·41·44·45·48·49·50·54·58·59·60·62·67·68·71·74·75·79·82·84·85·90·91·97·101·102·104·107·110·112·113·118·119]⚖[2·3·5·7·9·10·17·25·26·27·28·29·33·39·42·43·46·51·53·61·65·69·72·73·76·80·81·86·87·89·93·94·98·99·100·103·106·111·114·115·116·117·120] ➔ >:-5 =:-15 <:-38 \n", + " <:[8·9·13·17·18·20·26·38·43·46·49·50·51·59·66·74·81·84·85·90·91·92·93·95·103·112]⚖[10·14·24·25·32·36·37·42·47·48·52·53·55·57·61·67·68·75·77·88·98·99·102·108·114·116] ➔ >:+91 =:+111 <:-9 \n", + " 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- " >:[9·13·18·29·53·56·59·63·65·66·69·92·101·103·104·108·112·123·127·150·154·155·158·183·191·207·208·209·221·222·224·240]⚖[4·5·12·19·30·31·32·48·50·52·67·79·87·89·94·99·105·107·132·144·148·170·211·214·215·218·219·231·236·238·239·241] ➔ >:-215 =:-203 <:-183) \n", - " =:[28·43·47·56·60·69·77·81·91·133·142·144·160·177·183·185·208·209·216·223·239·240]⚖[7·33·39·40·42·46·50·68·80·86·87·98·103·112·123·157·159·167·168·181·225·234] ➔ >:-225 =:-204 <:-185) \n", - " <:[7·21·27·29·48·93·94·105·107·109·122·126·128·139·150·157·159·166·168·175·177·180·189·193·200·202·217·228·229]⚖[2·5·8·14·19·24·33·40·41·47·55·60·69·81·84·90·92·111·135·138·160·165·169·170·174·181·196·224·233] ➔ >:-224 =:-239 <:-217)) \n", - " 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<:[3·6·7·8·9·11·12·18·20·22·23·34·35·41·48·51·65·71·76·81·82·83·84·87·90·94·97·98·104·108·116·121·122·126·130·133·135·136·138·142·144·145·149·151·160·175·177·187·193·200·202·203·206·209·212·213·216·219·221·228·231·233·234·240·242]⚖[1·14·16·21·25·28·33·36·37·38·39·43·44·45·47·50·54·58·59·62·64·70·72·73·74·77·88·92·95·106·111·117·119·123·124·125·132·137·139·147·150·154·157·159·162·165·172·176·178·179·180·181·182·185·189·192·194·196·197·199·201·207·220·238·239] ➔ >:-181 =:-169 <:-221))) \n", - " <:[3·5·12·16·29·32·33·38·41·44·45·46·47·55·64·69·75·77·79·80·82·85·86·90·95·99·100·108·112·114·119·121·124·131·132·133·135·136·141·152·162·163·168·169·172·175·176·179·180·183·186·191·193·195·197·203·205·209·214·215·217·218·220·223·229·235·236]⚖[2·6·8·10·11·13·18·22·23·26·27·34·50·56·57·58·63·65·68·70·71·83·87·89·98·102·103·104·107·110·111·123·125·128·129·138·143·144·145·146·148·151·155·158·166·171·174·177·184·188·192·194·196·200·201·207·208·210·212·224·226·227·228·231·233·237·242] ➔ \n", - " 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<:[3·10·25·41·84·91·95·98·101·126·148·155·201·202·208·222·238]⚖[59·78·86·97·103·104·107·129·138·141·159·166·180·184·191·194·228] ➔ >:-228 =:-171 <:-201)) \n", - " =:[2·3·6·8·11·23·24·29·31·32·35·40·41·48·50·53·54·55·59·72·73·74·75·76·82·85·87·89·90·94·97·101·105·106·114·117·118·131·140·142·143·146·148·150·156·159·163·164·166·171·181·184·185·188·189·193·195·196·199·203·204·206·207·211·212·217·220·222·226·227·229·232·236·239·241·242]⚖[1·5·9·10·15·19·30·36·37·38·39·44·47·51·52·57·58·60·61·63·64·66·69·70·71·78·79·80·81·84·86·92·93·99·100·110·115·116·119·121·122·123·124·127·129·132·134·135·136·137·144·147·152·153·160·162·165·168·169·173·174·179·180·186·187·194·197·200·210·213·219·221·224·233·235·240] ➔ \n", - " 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" =:[28·37·40·46·66·77·88·94·95·96·114·135·138·147·155·157·158·161·163·165·173·176·182·186·187·188·200·203·207·209·215·217·220·223·226·228·237]⚖[2·8·13·15·21·29·36·38·44·54·67·83·85·91·101·103·108·110·113·123·125·128·131·132·144·146·152·164·170·171·172·181·212·214·216·222·225] ➔ >:-131 =:-120 <:-94) \n", - " <:[5·7·15·23·30·34·37·42·46·69·88·90·94·95·99·111·112·113·114·117·128·129·132·134·136·138·139·141·148·151·154·155·161·166·172·174·176·177·179·195·197·200·204·207·208·212·218·220·230·235·236·238]⚖[3·11·12·14·16·17·21·27·33·35·44·50·52·62·64·66·68·75·76·81·83·84·86·96·103·119·122·125·126·137·142·144·150·152·156·157·171·180·181·185·186·188·191·201·215·225·231·232·233·239·240·241] ➔ >:-142 =:-85 <:-95)) \n", - " 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<:[6·18·19·20·23·25·32·35·42·43·47·49·55·61·65·76·80·83·87·89·98·118·119·125·126·127·132·133·138·140·145·147·151·153·155·156·158·178·181·185·198·200·203·207·214·218·224·231·237·238]⚖[5·10·12·28·30·31·33·40·41·62·66·77·79·81·84·93·95·100·101·103·109·115·117·122·129·130·144·148·160·162·165·171·172·173·179·180·201·202·204·219·220·221·223·228·230·233·234·239·240·242] ➔ \n", - " >:[1·2·3·6·10·14·17·18·20·28·38·40·46·49·50·56·58·60·82·93·102·106·108·110·120·122·128·129·132·138·139·145·152·154·155·158·166·174·177·178·186·194·198·205·214·220·227·232·235·236·238·239]⚖[5·9·12·25·27·35·36·37·39·48·61·62·66·67·69·70·72·85·87·96·109·114·116·117·121·124·130·131·135·137·141·142·148·150·153·157·163·171·180·185·188·197·199·201·207·208·209·217·223·230·237·241] ➔ >:-117 =:-160 <:-129) \n", - " 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<:[1·7·14·15·17·18·19·26·28·32·34·36·38·47·48·49·53·61·63·73·74·82·85·88·91·102·104·108·110·111·116·120·123·126·127·132·138·139·143·145·148·149·155·156·159·165·168·176·180·186·190·193·195·196·201·203·216·219·222·225·226·227·231·232·241]⚖[3·8·10·23·27·31·37·40·42·46·56·57·64·68·69·70·72·79·80·84·86·87·89·96·97·99·103·107·109·113·118·122·125·128·129·134·135·136·141·144·146·150·154·163·166·169·172·177·179·182·187·189·199·200·205·208·211·212·213·215·221·224·230·233·242] ➔ \n", - " >:[5·9·10·11·13·30·33·43·48·49·51·56·60·65·68·74·75·81·84·93·98·106·115·116·121·122·125·135·136·137·141·152·155·157·161·164·165·169·176·180·183·186·200·204·205·212·219·223·232·237]⚖[1·7·23·25·27·28·34·37·38·42·46·59·69·77·78·79·82·85·89·96·102·110·112·120·131·139·149·150·151·156·158·160·162·163·177·178·182·184·187·189·191·198·199·202·207·209·218·221·228·235] ➔ \n", - " 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=:[5·16·18·20·26·32·40·41·42·47·50·59·61·62·65·68·69·71·76·78·80·83·88·92·94·99·105·116·126·128·135·137·140·144·146·152·154·159·169·171·176·192·194·195·197·200·201·209·219·223·228·239]⚖[1·8·9·11·14·15·17·25·29·33·37·39·48·51·52·54·60·73·77·84·91·93·95·98·111·113·114·119·122·127·130·132·133·138·148·153·155·167·175·183·188·189·198·203·213·214·215·220·221·226·232·234] ➔ \n", - " >:[5·6·15·16·17·21·29·31·32·33·44·47·58·63·66·67·69·70·77·80·81·85·90·97·100·103·108·110·113·119·124·130·136·138·141·146·148·151·155·159·160·164·165·166·167·168·176·182·191·196·205·206·207·211·222·236·240·242]⚖[3·8·10·22·23·26·28·39·40·60·64·68·72·74·78·83·84·87·89·93·105·106·112·117·121·127·129·139·140·143·144·150·152·157·161·162·169·175·179·183·186·187·190·194·197·199·202·209·210·217·221·224·225·226·228·235·237·241] ➔ >:-93 =:-114 <:-130) \n", - " 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<:[3·9·13·36·37·52·54·56·60·62·72·74·82·92·107·109·116·127·131·137·139·143·150·153·158·179·188·195·196·199·204·215·216·222·228·230·237]⚖[23·32·33·42·43·44·61·64·67·80·81·86·88·89·103·112·120·122·123·136·140·141·151·152·156·157·159·175·180·184·190·191·193·198·214·229·242] ➔ >:-88 =:-111 <:-82)))) \n", - " <:[1·2·6·7·11·17·18·19·20·27·29·33·34·37·41·47·53·54·57·58·64·67·69·75·77·78·79·87·91·92·97·98·107·116·121·122·123·128·129·133·134·136·139·141·146·147·158·161·162·164·167·168·169·170·171·172·178·180·181·182·183·190·191·197·198·201·208·210·216·219·221·222·224·225·226·231·233·234·235·241·242]⚖[4·5·8·12·13·14·16·21·22·24·26·30·43·44·45·46·48·51·52·55·56·60·62·63·65·66·74·82·85·86·88·89·90·94·95·96·99·105·106·109·110·112·115·118·119·120·126·127·132·137·138·140·142·149·150·152·154·157·163·175·176·177·179·186·194·195·199·200·202·203·204·206·207·213·218·220·228·236·237·239·240] ➔ \n", - " 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=:[8·13·16·18·22·26·28·30·31·34·37·40·43·45·50·51·52·58·59·63·64·70·71·78·82·86·91·92·95·103·107·110·112·118·120·123·125·126·128·134·137·140·141·142·144·145·146·152·160·161·163·167·168·169·175·176·177·180·181·183·197·199·200·202·206·209·210·211·214·219·229·232·233·234·236·241]⚖[2·4·5·7·10·12·14·24·25·27·35·39·41·42·47·61·62·65·69·73·74·75·76·80·97·98·100·101·105·111·113·116·119·121·122·124·129·130·131·132·139·149·150·156·159·162·166·173·174·178·179·185·186·187·188·190·198·203·207·208·212·216·218·221·222·223·224·225·226·227·230·231·235·238·239·240] ➔ \n", - " >:[14·31·32·35·56·79·99·104·109·183·192·195·217·221·222·230]⚖[17·19·20·24·25·27·29·68·92·106·151·157·173·189·236·237] ➔ >:-25 =:-80 <:-35) \n", - " =:[4·6·12·36·43·49·53·63·65·75·78·84·91·98·104·137·154·159·163·167·171·202·206·220·231·237]⚖[9·22·42·51·66·71·86·94·97·100·101·102·118·122·134·138·146·156·166·169·173·178·191·199·223·238] ➔ >:-9 =:-23 <:-49) \n", - " 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<:[2·10·11·13·17·20·22·24·25·28·37·38·39·41·42·45·46·47·51·56·57·58·60·64·65·67·74·75·76·79·82·87·93·94·97·99·102·107·109·114·115·118·125·133·138·143·145·146·148·149·150·154·163·164·167·168·169·171·179·180·181·188·191·201·205·208·209·210·212·213·216·220·221·222·224·235·241]⚖[6·7·8·15·21·23·29·30·31·35·36·40·43·49·55·61·68·70·77·78·81·83·86·88·89·90·91·98·100·101·103·105·112·116·117·119·121·122·123·126·127·132·137·140·142·144·151·153·155·160·162·165·170·172·173·174·177·178·184·185·187·190·192·193·194·196·197·203·214·223·228·229·231·232·234·237·238] ➔ \n", - " >:[3·8·12·15·16·17·23·25·37·42·43·45·47·54·57·64·66·68·69·73·74·75·78·79·81·90·92·93·94·96·99·107·109·117·121·125·127·130·134·139·140·145·148·154·155·164·165·166·171·172·173·175·176·184·190·191·192·202·205·207·211·216·219·221·223·226·235·236·239]⚖[2·5·6·7·11·13·20·21·22·29·32·38·40·41·48·49·51·52·53·56·58·61·65·67·70·71·77·85·87·95·98·103·104·105·106·112·114·124·137·141·142·144·147·151·158·160·162·168·169·170·186·188·189·199·203·204·209·212·213·217·220·227·229·230·233·234·237·241·242] ➔ >:-61 =:-36 <:-81) \n", - " =:[5·6·8·15·17·20·26·31·43·44·47·50·61·62·63·65·67·68·69·73·80·81·92·97·100·101·106·111·115·117·118·125·129·131·132·136·142·146·153·155·157·161·165·167·171·174·179·186·188·197·202·206·209·210·211·216·221·227·231·235]⚖[14·24·28·33·34·38·39·42·51·54·55·57·64·72·76·77·79·87·94·95·103·109·112·116·120·124·126·127·128·130·137·145·150·158·173·175·176·183·184·190·193·194·200·204·212·213·214·217·218·219·220·225·228·230·232·233·236·237·238·242] ➔ >:-72 =:-32 <:-73) \n", - " <:[4·6·8·17·21·24·26·36·39·40·43·45·48·50·53·61·64·85·87·89·91·94·99·110·111·112·116·128·139·142·153·162·165·173·177·181·185·194·200·224·228·241]⚖[1·3·5·7·10·14·16·19·20·31·44·47·52·54·56·69·70·86·90·93·102·103·106·118·119·125·126·130·132·133·143·147·154·160·168·176·178·180·196·208·211·240] ➔ >:-10 =:-38 <:-39))) \n", - " <:[1·3·4·6·9·11·14·19·20·23·30·33·35·36·43·47·56·57·59·60·64·71·76·82·87·91·92·96·100·101·103·107·108·113·121·127·132·133·137·138·139·141·143·144·146·147·157·158·159·162·163·165·168·173·175·176·182·183·188·190·192·197·200·201·203·206·210·211·221·224·225·226·232·233·237·239·241]⚖[2·5·7·15·18·21·22·24·26·39·41·45·46·52·62·65·66·67·68·69·70·73·74·75·78·79·83·84·90·93·104·105·114·117·118·119·122·123·126·128·130·135·136·140·145·152·154·155·156·166·170·172·174·177·178·180·181·185·189·193·194·195·196·198·199·202·207·209·212·213·216·222·228·230·234·235·238] ➔ \n", - " 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<:[2·6·9·12·14·15·17·24·27·29·31·32·34·36·38·42·43·46·51·52·55·57·58·60·61·63·64·72·73·75·76·84·85·86·90·93·94·96·102·103·105·108·114·115·116·131·133·137·138·139·140·141·142·143·145·151·153·157·161·165·168·170·173·183·186·188·194·196·197·198·203·208·210·213·216·223·224·226·227·235]⚖[1·5·7·16·18·19·21·26·30·37·40·41·44·45·47·48·54·56·59·62·65·67·68·71·74·78·81·88·91·92·98·99·101·104·106·109·110·112·117·119·120·121·123·124·125·129·130·144·147·152·155·158·160·162·163·169·175·176·179·180·187·191·193·200·201·204·205·214·217·218·219·220·229·230·232·236·237·238·239·241] ➔ \n", - " 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<:[3·13·14·15·16·31·34·35·37·38·41·47·48·57·59·63·70·72·85·90·94·97·99·105·107·109·113·115·125·128·134·147·148·152·153·158·167·172·173·175·178·181·193·197·198·201·205·206·213·215·219·222·225·237·238]⚖[4·5·7·10·12·18·27·28·29·49·51·52·56·62·64·66·67·74·81·83·87·88·91·93·96·98·101·102·106·108·112·117·143·145·155·159·163·169·187·188·190·192·194·195·200·203·207·209·212·217·229·230·231·236·242] ➔ >:-64 =:-6 <:-57)))))\n" + " 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\n", + " <:[4·10·20·27·29·31·33·35·42·44·45·52·53·55·56·57·65·69·70·71·72·74·76·79·80·82·84·85·86·96·99·100·101·102·106·111·114·115·118·119·132·136·137·140·141·145·149·150·156·163·167·172·173·179·180·184·188·190·195·198·203·204·206·209·211·214·223·229·239]⚖[2·6·8·12·13·15·16·22·25·26·30·34·36·46·48·49·51·54·59·60·61·66·75·78·83·95·103·107·108·109·113·116·121·123·125·133·134·142·143·144·146·148·151·153·154·155·157·158·160·164·166·174·175·176·177·178·186·193·194·199·201·216·219·220·226·230·235·240·242] ➔ >:-2 =:-7 <:-45 \n", + " =:[4·7·10·13·14·16·17·21·22·23·24·25·31·36·38·43·46·47·48·49·50·52·54·55·57·67·68·69·71·73·83·89·91·93·94·95·97·111·112·114·116·119·131·133·134·137·144·145·153·154·155·157·163·165·169·171·175·176·177·178·180·190·191·192·196·197·199·202·203·211·215·218·220·221·224·235·238]⚖[1·6·8·11·12·18·27·28·29·30·34·35·41·42·44·58·61·62·63·64·66·72·79·84·90·92·96·99·100·104·107·108·109·110·113·115·117·122·124·127·129·130·132·135·136·139·142·143·146·147·148·149·156·158·160·161·162·168·170·173·183·186·200·204·208·209·213·214·216·217·219·228·229·234·236·239·242] ➔ \n", + " >:[3·4·6·10·21·24·29·35·40·44·50·52·60·65·69·78·79·92·94·95·96·97·106·112·116·119·122·124·126·134·137·157·158·163·166·168·170·175·181·183·186·188·189·190·196·201·204·208·212·213·216·224·225·227·230·234·235·240·241·242]⚖[5·11·12·14·16·23·26·32·34·41·42·45·48·49·59·62·64·66·70·73·74·81·82·84·87·93·98·101·104·108·121·123·125·127·130·135·136·139·140·144·152·153·162·173·174·176·178·179·182·185·198·199·200·205·206·217·226·232·236·239] ➔ >:-42 =:-27 <:-6 \n", + " =:[6·10·12·13·14·15·16·23·32·38·40·42·43·45·46·47·48·50·56·57·59·60·66·67·69·81·83·84·87·94·98·100·102·105·107·114·117·120·123·127·129·130·136·137·139·144·145·146·154·158·159·162·164·165·166·170·176·178·179·186·193·195·200·201·202·203·206·208·214·215·216·219·222·225·231·233·234·237·241]⚖[1·2·3·4·5·8·17·18·20·22·31·33·34·35·36·37·41·49·63·65·68·70·74·75·85·88·89·90·92·96·97·109·111·112·113·116·119·121·122·124·131·132·135·138·142·147·149·150·153·156·157·160·163·168·169·173·174·177·180·182·183·185·188·189·198·205·207·209·212·217·218·220·223·224·229·232·235·236·242] ➔ >:-37 =:-19 <:-40 \n", + " <:[2·10·12·13·22·27·29·38·40·49·50·63·73·76·86·87·90·91·94·103·109·115·125·131·138·143·145·148·149·155·162·167·174·175·180·181·184·197·198·202·203·209·210·225·231·235·236·237]⚖[4·14·17·23·26·33·45·47·57·65·67·69·84·93·97·100·101·108·113·121·122·139·140·141·144·146·150·152·153·157·168·169·172·177·182·189·193·195·201·204·207·213·215·218·223·226·229·240] ➔ >:-23 =:-36 <:-50 \n", + " <:[1·4·7·10·11·12·16·17·18·23·24·25·30·35·36·37·42·43·46·49·54·55·58·61·64·67·71·74·75·76·79·80·82·88·91·92·93·95·97·102·103·113·114·118·120·121·125·126·128·135·136·137·140·141·143·150·151·152·153·156·157·158·161·162·163·165·169·171·173·179·181·183·184·185·186·187·189·195·197·199·201·202·203·204·207·211·213·215·219·221·223·224·226·228·229·230·231·232·238·241]⚖[3·5·8·13·15·19·21·22·26·29·31·32·34·38·39·41·44·45·47·48·50·51·52·53·57·60·62·63·65·68·69·70·72·73·77·78·81·83·84·87·90·94·101·104·105·106·107·109·111·112·115·116·117·119·122·123·124·129·130·132·138·139·142·145·148·154·155·159·160·164·166·167·168·170·172·174·175·176·177·178·180·182·190·191·193·196·198·200·206·209·212·216·217·220·225·227·233·239·240·242] ➔ \n", + " >:[1·2·5·7·10·15·17·19·27·31·34·38·39·40·47·49·50·52·57·58·61·68·74·76·79·84·89·92·93·94·99·110·111·113·114·121·122·132·136·137·139·142·146·150·152·153·161·172·174·176·178·181·192·195·196·200·207·211·213·219·236·238]⚖[4·12·14·20·21·28·29·36·37·42·46·48·53·63·64·65·75·77·80·86·87·91·96·98·106·107·116·126·130·134·135·145·148·151·162·165·167·169·171·175·177·179·180·183·186·189·190·193·202·204·206·214·215·218·220·222·225·228·233·234·237·241] ➔ >:-21 =:-13 <:-5 \n", + " =:[9·24·36·48·59·62·65·124·133·136·180·209·213·225·228·236]⚖[5·8·18·22·49·50·56·63·64·69·103·135·176·184·201·212] ➔ >:-56 =:-33 <:-9 \n", + " <:[8·14·18·19·21·23·30·33·39·41·44·47·51·52·54·55·73·75·77·79·82·83·85·87·88·90·91·93·98·100·106·109·112·113·117·118·119·120·121·122·127·129·133·135·138·141·149·152·153·156·160·161·163·165·175·179·180·182·191·194·195·199·203·205·208·210·211·214·217·218·231·234·235]⚖[10·11·13·16·17·20·27·29·32·36·37·40·50·58·59·64·68·69·80·92·96·101·104·108·110·114·115·116·126·128·130·131·134·136·137·139·140·144·145·147·151·155·157·164·166·167·168·169·172·173·176·177·181·184·185·186·190·193·196·200·202·204·209·212·219·220·224·225·226·227·229·240·242] ➔ >:-10 =:-12 <:-79\n" ] } ], @@ -1522,12 +1575,11 @@ "\n", "- What other puzzles can you solve?\n", "- Can you make a table summarizing the space of solved and unsolved puzzles? \n", - "- Can you prove the unsolved puzzles are unsolvable? \n", - "- Can you prove that it is never necessary to put more than 1/3 the number of balls (rounded up) on either side of the scale?\n", - "- What happens when it is a possibility that *two* balls are odd? Or more?\n", + "- Can you *prove* the unsolved puzzles are unsolvable? \n", + "- Currently, when `solve` returns `None`, it means \"no solution was found, but there's no proof that a solution doesn't exist.\" Can you modify `solve` to return a result that indicates there is no possible solution? (Maybe you can only do this on some puzzles, not all.)\n", "- What about puzzles where your task is to identify *which* ball is odd, but not *how* it is odd? That is, if you get the possibilities down to `{-3, +3}` then you're done; you know ball 3 is the odd one, and you don't care if it is heavy or light.\n", - "- Currently, when `solve` returns `None`, it means \"no solution was found, but there's no proof that a solution doesn't exist.\" Can you modify `solve` to prove there is no solution for all (or at least some) puzzles?\n", "- Can you find trees that minimize the *mean* number of weighings, rather than minimizing the *maximum* number of weighings?\n", + "- What happens when it is a possibility that *two* balls are odd? Or more?\n", "- What if you had two or more balance scales that you could use in parallel, and the goal was to minimize the number of weighing time periods, not the total number of weighings?\n", "- What else can you discover?" ]